Soit \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) une fonction de classe \(C^1\) telle que \[\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\qquad \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0.\]
On introduit la fonction \(h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par \[h(u,v)=f(u+v,u-v).\]
Calculer \(\dfrac{\partial h}{\partial v}(u,v)\) en fonction des dérivées partielles de \(f\).
En utilisant l’hypothèse sur \(f\), montrer que \[\forall (u,v)\in\mathbb{R}^2,\qquad \frac{\partial h}{\partial v}(u,v)=0.\]
Bonus: En déduire qu’il existe une fonction \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) telle que \[\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\qquad f(x,y)=g(x+y).\]
Vérifier que toute fonction de la forme \(f(x,y)=g(x+y)\) avec \(g\in C^1(\mathbb{R})\) vérifie bien \[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0.\]