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Soit $f:D\subset \R^m\to\R^n$ et $a\in D$. Donner la définition de “$f$ est différentiable en $a$”.

Montrer que, si $f$ est différentiable en $a$, alors toutes ses dérivées partielles existent. Exprimer le lien entre la différentielle $d f_a$ de $f$ en $a$ et les dérivées partielles de $f$ en $a$.

Les affirmations suivantes, sont-elles vraies ou fausses? On justifiera brièvement sa réponse.

(A) Si $f$ est différentiable en $a$, alors elle y est continue.

(B) Si toutes les dérivées partielles de $f$ en $a$ existent, alors $f$ est différentiable en $a$.