Une matrice de permutation est une matrice carrée qui contient exactement un \(1\) par ligne et un \(1\) par colonne, et des \(0\) partout ailleurs. Ces matrices permettent de réordonner les composantes d’un vecteur.
On considère les trois matrices suivantes : \[P_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad P_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad P_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]
Soit \({v} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) une matrice colonne quelconque. Calculer \(P_1 {v}\), \(P_2 {v}\) et \(P_3 {v}\). Interpréter l’effet de chaque matrice sur les composantes de \(v\).
Calculer \(\det(P_1)\), \(\det(P_2)\) et \(\det(P_3)\).
Calculer le produit \(P_1 \times P_3\), \(P_2^2\) et \(P_2^3\).
Application : Lors d’une transmission radio sécurisée, un message est codé par blocs de 3 symboles. Pour brouiller la transmission, on applique la permutation \(P_2\) à chaque bloc. Le message reçu est \((7, 2, 5)\). Quel était le message initial ?