On cherche l’équation d’une telle parabole $\mathcal{P}$ sous la forme $(ax+by)^2+2cx+2dy+e=0,\;a^2+b^2=1,\;a>0$ .

$(1,0)\in\mathcal{P}\Leftrightarrow\boxed{a^2+2c+e=0}\;\mbox{et}\;(0,2)\in\mathcal{P}\Leftrightarrow \boxed{4b^2+4d+e=0}.$ D’après la règle de dédoublement des termes, une équation cartésienne de la tangente à $\mathcal{P}$ en $(1,0)$ est $a^2x+aby+c(x+1)+dy+e=0$ ou encore $(a^2+c)x+(ab+d)y+c+e=0$ . Cette tangente est l’axe $(Ox)$ si et seulement si $a^2+c=c+e=0\;\mbox{et}\;ab+d\neq0$ . Une équation cartésienne de la tangente à $\mathcal{P}$ en $(0,2)$ est $2abx+2b^2y+cx+d(y+2)+e=0$ ou encore $(2ab+c)x+(2b^2+d)y+2d+e=0$ . Cette tangente est l’axe $(Oy)$ si et seulement si $2b^2+d=2d+e=0$ et $2ab+c\neq0$ . En résumé, $\mathcal{P}$ est solution si et seulement si

$\left\{ \begin{array}{l} c=-a^2\\ d=-2b^2\\ e=a^2=4b^2\\ a^2+b^2=1\\ ab+d\neq0\\ 2ab+c\neq0\\ a>0 \end{array} \right..$ Maintenant, $\left(a^2=4b^2,\;a^2+b^2=1\;\mbox{et}\;a>0\right)\Leftrightarrow a=\frac{2}{\sqrt{5}}\;\mbox{et}\;b=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}$ . Le cas $b=\frac{1}{\sqrt{5}}$ fournit $d=-\frac{2}{5}$ puis $ab+d=0$ ce qui est exclu. Donc, nécessairement $a=\frac{2}{\sqrt{5}}$ et $b=-\frac{1}{\sqrt{5}}$ puis $c=-\frac{4}{5}$ , $d=-\frac{2}{5}$ et $e=\frac{4}{5}$ qui sont effectivement solution du système. On obtient ainsi une et une seule courbe du second degré solution, à savoir la courbe d’équation cartésienne

$(2x-y)^2-8x-4y+4=0.$

Il reste à vérifier que cette courbe est effectivement une parabole. On pose $\left\{ \begin{array}{l} X=\frac{1}{\sqrt{5}}(-x-2y)\\ Y=\frac{1}{\sqrt{5}}(2x-y) \end{array} \right.$ ou encore $\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{\sqrt{5}}(-X+2Y)\\ y=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2X-Y) \end{array} \right.$ .

$\begin{align*}\ensuremath (2x-y)^2-8x-4y+4=0&\Leftrightarrow5Y^2-\frac{8}{\sqrt{5}}(-X+2Y)-\frac{4}{\sqrt{5}}(-2X-Y)+4=0\Leftrightarrow5Y^2-\frac{12}{\sqrt{5}}Y+\frac{16}{\sqrt{5}}X+4=0\\ &\Leftrightarrow5\left(Y-\frac{6}{5\sqrt{5}}\right)^2=-\frac{16}{\sqrt{5}}\left(X+\frac{4}{5\sqrt{5}}\right). \end{align*}$ $\mathcal{C}$ est donc effectivement une parabole.

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