Notons \(\mathcal{C}\) l’ensemble des points considérés. Pour \(x\) réel, posons \(P(x)=x^3+Ax^2+Bx+C\).

\[\begin{align*}\ensuremath P(x)=P(y)&\Leftrightarrow (x^3-y^3)+A(x^2-y^2)+B(x-y)=0\Leftrightarrow(x-y)((x^2+xy+y^2)+A(x+y)+B)=0\\ &\Leftrightarrow y=x\;\mbox{ou}\;x^2+xy+y^2+A(x+y)+B=0. \end{align*}\] \(\mathcal{C}\) est donc la réunion de la droite d’équation \(y=x\) et de la courbe \(\mathcal{E}\) d’équation \(x^2+xy+y^2+A(x+y)+B=0\). Pour déterminer la nature de \(\mathcal{E}\), on fait un changement de repère orthonormé en posant

\[\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{\sqrt{2}}(X-Y)\\ y=\frac{1}{\sqrt{2}}(X+Y) \end{array} \right.\] On obtient

\[\begin{align*}\ensuremath x^2+xy+y^2+A(x+y)+B=0&\Leftrightarrow\frac{1}{2}((X-Y)^2+(X-Y)(X+Y)+(X+Y)^2)+\frac{A}{\sqrt{2}}X+B=0\\ &\Leftrightarrow3X^2+Y^2+\sqrt{2}AX+2B=0\Leftrightarrow3\left(X+\frac{A\sqrt{2}}{6}\right)^2+Y^2=\frac{A^2-12B}{6}\;(*) \end{align*}\] \(\mathcal{E}\) est une ellipse si et seulement si \(A^2-12B>0\) (sinon \(\mathcal{E}\) est un point ou est vide). Dans ce cas, puisque \(a=\frac{1}{\sqrt{3}}<1=b\),

\(e=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\).

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