On choisit un repère orthonormé \(\mathcal{R}_1=\left(O',\overrightarrow{I},\overrightarrow{J},\overrightarrow{K}\right)\) tel que le plan d’équation \(x+y+z=1\) dans \(\mathcal{R}\) soit le plan d’équation \(Z=0\) dans \(\mathcal{R}_1\). On prend \(O'=(1,0,0)\) puis \(\overrightarrow{K}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\), \(\overrightarrow{I}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)\) et enfin \(\overrightarrow{J}=\overrightarrow{K}\wedge\overrightarrow{I}=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)\). Les formules de changement de repère s’écrivent

\(\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{6}}+\frac{Z}{\sqrt{3}}+1\\ y=-\frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{6}}+\frac{Z}{\sqrt{3}}\\ z=-\frac{2Y}{\sqrt{6}}+\frac{Z}{\sqrt{3}} \end{array} \right.\)

Ensuite, soit \(M\) un point de l’espace dont les coordonnées dans \(\mathcal{R}\) sont notées \((x,y,z)\) et les coordonnées dans \(\mathcal{R}_1\) sont notées \((X,Y,Z)\).

\[\begin{align*}\ensuremath M\in(\Gamma)&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=x^2+x+1\\ x+y+z=1 \end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} -\frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{6}}+\frac{Z}{\sqrt{3}}=\left(\frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{6}}+\frac{Z}{\sqrt{3}}+1\right)^2+\left(\frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{6}}+\frac{Z}{\sqrt{3}}+1\right)+1\\ Z=0 \end{array}\right. \\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} Z=0\\ -\frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{6}}=\left(\frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{6}}+1\right)^2+\frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{6}}+2\end{array}\right. \\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} Z=0\\ \left(\frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{6}}\right)^2+\frac{4X}{\sqrt{2}}+\frac{2Y}{\sqrt{6}}+3=0\end{array}\right.. \end{align*}\] On travaille maintenant en dimension \(2\) et on note encore \(\mathcal{R}_1\) le repère \(\left(O',\overrightarrow{I},\overrightarrow{J}\right)\). Une équation de \((\Gamma)\) dans \(\mathcal{R}_1\) est \(\left(\frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{6}}\right)^2+\frac{4X}{\sqrt{2}}+\frac{2Y}{\sqrt{6}}+3=0\) ou encore \(\frac{2}{3}\left(\frac{\sqrt{3}X}{2}+\frac{Y}{2}\right)^2+\frac{4X}{\sqrt{2}}+\frac{2Y}{\sqrt{6}}+3=0\). On pose \(\left\{ \begin{array}{l} x'=\frac{\sqrt{3}X}{2}+\frac{Y}{2}\\ \rule{0mm}{7mm}y'=-\frac{X}{2}+\frac{\sqrt{3}Y}{2} \end{array} \right.\) ou encore \(\left\{ \begin{array}{l} X=\frac{\sqrt{3}x'}{2}-\frac{y'}{2}\\ \rule{0mm}{7mm}Y=\frac{x'}{2}+\frac{\sqrt{3}y'}{2} \end{array} \right.\) et on note \(\mathcal{R}'=\left(O',\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}\right)\) le nouveau repère défini par ces formules. \[\begin{align*}\ensuremath M\in(\Gamma)&\Leftrightarrow\frac{2}{3}x'^2+\frac{4}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{3}x'}{2}-\frac{y'}{2}\right)+\frac{2}{\sqrt{6}}\left(\frac{x'}{2}+\frac{\sqrt{3}y'}{2}\right)+3=0\Leftrightarrow\frac{2}{3}x'^2+\frac{7x'}{\sqrt{6}}-\frac{y'}{\sqrt{2}}+3=0\\ &\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(x'+\frac{21}{4\sqrt{6}}\right)^2=\frac{y'}{\sqrt{2}}+\frac{1}{16}\Leftrightarrow\left(x'+\frac{21}{4\sqrt{6}}\right)^2=\frac{3}{2\sqrt{2}}\left(y'+\frac{1}{8\sqrt{2}}\right). \end{align*}\] \(\left(\Gamma\right)\) est une parabole de paramètre \(p=\frac{3}{4\sqrt{2}}\). Eléments de \((\Gamma)\) dans \(\mathcal{R}'\) : sommet \(S\left(-\frac{21}{4\sqrt{6}},-\frac{1}{8\sqrt{2}}\right)_{\mathcal{R}'}\), axe : \(x'=-\frac{21}{4\sqrt{6}}\), foyer \(F\left(-\frac{21}{4\sqrt{6}},\frac{1}{4\sqrt{2}}\right)_{\mathcal{R}'}\), directrice : \(y'=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\). Eléments de \((\Gamma)\) dans \(\mathcal{R}_1\) en repassant à trois coordonnées : sommet \(S\left(-\frac{41}{16\sqrt{2}},-\frac{45}{16\sqrt{6}},0\right)_{\mathcal{R}_1}\), axe : \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{3}X+Y=-\frac{21}{2\sqrt{6}}\\ Z=0\\ \end{array} \right.\), foyer \(F\left(-\frac{11}{4\sqrt{2}},-\frac{3}{\sqrt{6}},0\right)_{\mathcal{R}_1}\), directrice : \(\left\{ \begin{array}{l} -X+\sqrt{3}Y=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ Z=0 \end{array} \right.\). Eléments de \((\Gamma)\) dans \(\mathcal{R}\) : sommet \(S\left(-\frac{3}{4},\frac{13}{16},\frac{15}{16}\right)_{\mathcal{R}}\), axe : \(\left\{ \begin{array}{l} 8x-4y-4z+21=0\\ x+y+z=1\\ \end{array} \right.\), foyer \(F\left(-\frac{7}{8},\frac{7}{8},10\right)_{\mathcal{R}}\), directrice : \(\left\{ \begin{array}{l} 2y-2z+1=0\\ x+y+z=1 \end{array} \right.\).

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