On choisit un repère orthonormé $\mathcal{R}$ dans lequel le point $A$ a pour coordonnées $(1,0)$ et le point $B$ a pour coordonnées $(-1,0)$ . Dans le repère $\mathcal{R}$ , la droite $(\mathcal{D})$ a pour équation $x = 1$ . Ensuite, il existe un réel $\theta$ tel que le point $P$ ait pour coordonnées $(\cos\theta,\sin\theta)$ . La tangente $(\mathcal{T})$ a pour équation $x\cos\theta + y\sin\theta = 1$ . Pour $\theta\notin\pi\Zz$ , le point $S$ a pour coordonnées $\left(1,\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\right)$ ou encore $\left(1,\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$ .

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La perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant $P$ admet pour équation $x=\cos\theta$ . La droite $(BS)$ admet pour équation $-\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)(x+1)+2y=0$ . Ces deux droites se coupent en le point $M$ de coordonnées $\left(\cos\theta,\frac{1}{2}\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)(1+\cos\theta)\right)$ ou encore $\left(\cos\theta,\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$ ou enfin $(\cos\theta,\frac{1}{2}\sin\theta)$ .

L’ensemble des points $M$ est donc l’ensemble des points de coordonnées $\left(\cos\theta,\frac{1}{2}\sin\theta\right)$ quand $\theta$ décrit $\Rr\setminus\pi\Zz$ ou encore l’ellipse d’équation $x^2+4y^2 = 1$ privée des points $A$ et $B$ .

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