[inter-droites-compas-seul] On considère quatre points distincts \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), tels que les droites \((AB)\) et \((CD)\) soient sécantes en un point \(X\). On veut construire le point \(X\) au compas seul.
À l’aide de l’exercice [para-compas-seul], expliquer comment construire la parallèle \(\Delta\) à \((AB)\) passant par \(D\).
Construire un point \(O\) équidistant de \(C\) et \(D\), et \(F\) le point d’intersection du cercle de centre \(O\) passant par \(C\) et \(D\) avec ma droite \(\Delta\), autre que \(D\). On note \(H\) et \(H'\) les points d’intersection du cercle de centre \(C\) passant par \(F\) avec la droite \((AB)\). Comment construire ces points au compas seul?
Construire le centre \(K\) de \(\mathcal{C}\), un des deux cercles de rayon \(OC\) passant par \(C\) et \(H\). De même, construire le centre \(K'\) de \(\mathcal{C}'\), un des deux cercles de rayon \(OC\) passant par \(C\) et \(H'\). Montrer que le point \(C\) est commun à \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{C}'\).
Notons \(\alpha\) la mesure de l’angle \(\widehat{AXD}\). En supposant que les points sont disposés comme sur la figure ci-dessus, montrer que:
la mesure de \(\widehat{CDF}\) est \(\alpha\);
la mesure de \(\widehat{COF}\) est \(2 \alpha\);
la mesure de \(\widehat{CKH}\) est \(2 \alpha\);
la mesure de \(\widehat{CK'H'}\) est \(2 \alpha\).