Pour approcher les racines réelles de la fonction \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) définie par \(f(x)=x-e^{-(1+x)}\), on utilise quatre méthodes de point fixe: \(x_0\) donné, \(x_{n+1}=\phi_i(x_n)\), pour tout \(n\in\mathbb{N}\), où \[\phi_1(x)=e^{-(1+x)}, \quad \phi_2(x)=x^2e^{1+x}, \quad \phi_3(x)=-1-\ln(x), \quad \phi_4(x)=\frac{1+x}{1+e^{1+x}}.\]
Montrer qu’il existe une unique racine réelle \(\ell\) de \(f\). Montrer que \(\ell\in]\frac{1}{5};\frac{1}{2}[\).
Montrer que les quatre méthodes de point fixe sont consistantes avec la recherche du zéro de \(f\), i.e. montrer que pour tout \(x\in]\frac{1}{5};\frac{1}{2}[\), on a pour tout \(i \in \{1,2,3,4\}\) : \[\phi_i(x)=x \Leftrightarrow f(x)=0.\]
Étudier la convergence locale des quatre méthodes de point fixe. Si elles convergent, donner l’ordre de convergence. Attention, on ne demande pas d’étudier la convergence globale sur \(]\frac{1}{5};\frac{1}{2}[\) mais de vérifier s’il existe un voisinage de \(\ell\) tel que pour tout \(x_0\) dans ce voisinage, la méthode converge.
Pour la première méthode, établir analytiquement pour quelles valeurs de \(x_0\) la suite converge.