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Pour approcher les racines réelles de la fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ définie par $f(x)=x-e^{-(1+x)}$ , on utilise quatre méthodes de point fixe: $x_0$ donné, $x_{n+1}=\phi_i(x_n)$ , pour tout $n\in\mathbb{N}$ , où $\phi_1(x)=e^{-(1+x)}, \quad \phi_2(x)=x^2e^{1+x}, \quad \phi_3(x)=-1-\ln(x), \quad \phi_4(x)=\frac{1+x}{1+e^{1+x}}.$

Montrer qu’il existe une unique racine réelle $\ell$ de $f$ . Montrer que $\ell\in]\frac{1}{5};\frac{1}{2}[$ .

Montrer que les quatre méthodes de point fixe sont consistantes avec la recherche du zéro de $f$ , i.e. montrer que pour tout $x\in]\frac{1}{5};\frac{1}{2}[$ , on a pour tout $i \in \{1,2,3,4\}$ : $\phi_i(x)=x \Leftrightarrow f(x)=0.$

Étudier la convergence locale des quatre méthodes de point fixe. Si elles convergent, donner l’ordre de convergence. Attention, on ne demande pas d’étudier la convergence globale sur $]\frac{1}{5};\frac{1}{2}[$ mais de vérifier s’il existe un voisinage de $\ell$ tel que pour tout $x_0$ dans ce voisinage, la méthode converge.

Pour la première méthode, établir analytiquement pour quelles valeurs de $x_0$ la suite converge.

Comparaison de méthodes de point fixe

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