Posons \(\ell=\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\).

Soit \(\varepsilon>0\). \(\exists A>0/\;\forall x\in\Rr^+,\;(x\geq A\Rightarrow|f(x)-\ell|<\frac{\varepsilon}{3}\).

Soit \((x,y)\in[A,+\infty[^2\). Alors, \(|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-\ell|+|\ell-f(y)|<\frac{2\varepsilon}{3}(<\varepsilon)\). D’autre part, \(f\) est continue sur le segment \([0,A]\) et donc est uniformément continue sur ce segment d’après le théorème de Heine. Donc, \(\exists\alpha>0/\;\forall(x,y)\in[0,A]^2,\;|x-y|<\alpha\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{3}(<\varepsilon)\).

Résumons. \(\alpha>0\) étant ainsi fourni, soient \(x\) et \(y\) deux réels de \([0,+\infty[\) vérifiant \(|x-y|<\alpha\).

Si \((x,y)\in[0,A]^2\), on a \(|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{3}<\varepsilon\).

Si \((x,y)\in[A,+\infty[^2\), on a \(|f(x)-f(y)|<\frac{2\varepsilon}{3}<\varepsilon\).

Si enfin on a \(x\leq A\leq y\), alors, puisque \(|A-x|\leq|x-y|<\alpha\), on a \(|f(x)-f(A)|<\frac{\varepsilon}{3}\) et puisque \(A\) et \(y\) sont dans \([A,+\infty[\), on a \(|f(y)-f(A)|<\frac{2\varepsilon}{3}\). Mais alors,

\[|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-f(A)|+|f(y)-f(A)|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{2\varepsilon}{3}=\varepsilon.\]

On a montré que \(\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0/\;\forall(x,y)\in[0,+\infty[^2,\;(|x-y|<\alpha\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon)\). \(f\) est donc uniformément continue sur \([0,+\infty[\).

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