On considère la série \[\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.\]
1
Montrer que, pour tout \(n\geq 1\), \[\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).\]
2
En déduire que la série \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\) converge, et calculer sa somme.