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Calculer $A{}^t{A}$. Que vaut $\det A$ au signe près ?

En étudiant le signe du terme en $a^{4}$ dans le déterminant de $A$, montrer que $\det A=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}$. Sans calcul supplémentaire, en déduire que le polynôme caractéristique de $A$ est $\chi_{A}=((a-X)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}$.

$A$ est-elle diagonalisable sur $\R$ ? (justifier)

On se place maintenant dans le cas où $a=1$, $b=c=d=-1$. Vérifier que $(i\sqrt{3},1,1,1)$ et $(-1,i\sqrt{3},-1,1)$ sont des vecteurs propres de $A$, puis diagonaliser $A$ sur $\C$.

Application : résoudre le système récurent suivant (il n’est pas nécessaire de calculer l’inverse de la matrice de passage de la question précédente). On notera $\omega=1/2+i\sqrt{3}/2=e^{i\pi/3}$. $$\left\{ \begin{array}{ccr} u_{n+1} &=& u_{n}+v_{n}+w_{n}+h_{n}\\ v_{n+1} &=&-u_{n}+v_{n}-w_{n}+h_{n}\\ w_{n+1} &=&-u_{n}+v_{n}+w_{n}-h_{n}\\ h_{n+1} &=&-u_{n}-v_{n}+w_{n}+h_{n} \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{ccr} u_{0} &=&1\\ v_{0} &=&0\\ w_{0} &=&0\\ h_{0} &=&0 \end{array} \right.$$