On considère la matrice \(A= \begin{pmatrix} a&-b&-c&-d\\ b& a& d&-c\\ c&-d& a& b\\ d& c&-b& a \end{pmatrix}\), avec \((b,c,d)\neq(0,0,0)\).
Calculer \(A{}^t{A}\). Que vaut \(\det A\) au signe près ?
En étudiant le signe du terme en \(a^{4}\) dans le déterminant de \(A\), montrer que \(\det A=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}\). Sans calcul supplémentaire, en déduire que le polynôme caractéristique de \(A\) est \(\chi_{A}=((a-X)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}\).
\(A\) est-elle diagonalisable sur \(\R\) ? (justifier)
On se place maintenant dans le cas où \(a=1\), \(b=c=d=-1\). Vérifier que \((i\sqrt{3},1,1,1)\) et \((-1,i\sqrt{3},-1,1)\) sont des vecteurs propres de \(A\), puis diagonaliser \(A\) sur \(\C\).
Application : résoudre le système récurent suivant (il n’est pas nécessaire de calculer l’inverse de la matrice de passage de la question précédente). On notera \(\omega=1/2+i\sqrt{3}/2=e^{i\pi/3}\). \[\left\{ \begin{array}{ccr} u_{n+1} &=& u_{n}+v_{n}+w_{n}+h_{n}\\ v_{n+1} &=&-u_{n}+v_{n}-w_{n}+h_{n}\\ w_{n+1} &=&-u_{n}+v_{n}+w_{n}-h_{n}\\ h_{n+1} &=&-u_{n}-v_{n}+w_{n}+h_{n} \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{ccr} u_{0} &=&1\\ v_{0} &=&0\\ w_{0} &=&0\\ h_{0} &=&0 \end{array} \right.\]