Soit $z\in\Cc$ . $z,\;z^2\;\mbox{et}\;z^3\;\mbox{ne sont pas deux à deux distincts}\Leftrightarrow z^2=z\;\mbox{ou}\;z^3=z\;\mbox{ou}\;z^3=z^2\Leftrightarrow z\in\{-1,0,1\}.$ Ensuite, pour $z\notin\{-1,0,1\}$ ,

$z,\;z^2\;\mbox{et}\;z^3\;\mbox{sont alignés}\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;z^3-z=\lambda(z^2-z)\Leftrightarrow\frac{z^3-z}{z^2-z}\in\Rr\Leftrightarrow z+1\in\Rr\Leftrightarrow z\in\Rr.$ Finalement, $(z,z^2,z^3)$ est un vrai triangle si et seulement si $z$ n’est pas réel. Soit alors $z$ un complexe non réel.

$\begin{align*} O\;\mbox{centre du cercle inscrit au triangle}\;(PQR)&\Leftrightarrow O=\mbox{bar}\{P(QR),Q(PR),R(PQ)\}\\ &\Leftrightarrow z|z^2-z^3|+z^2|z-z^3|+z^3|z-z^2|=0 \Leftrightarrow z.|z|.|1-z|(|z|+z|1+z|+z^2)=0\\ &\Leftrightarrow|z|+z|1+z|+z^2=0\;(E)\;(\mbox{car}\;z\notin\Rr) \end{align*}$ Ensuite,

$\begin{align*} |z|+z|1+z|+z^2=0&\Leftrightarrow(z+\frac{|z|}{z})+|1+z|=0\Rightarrow z+\frac{|z|}{z}\in\Rr\Leftrightarrow z+\frac{|z|}{z}={\bar z}+\frac{|z|}{{\bar z}}\\ &\Leftrightarrow z-{\bar z}-|z|\frac{z-{\bar z}}{z{\bar z}}=0\Leftrightarrow(z-{\bar z})(1-\frac{1}{|z|})=0 \Leftrightarrow1-\frac{1}{|z|}=0\;(\mbox{car}\;z\neq{\bar z})\\ &\Leftrightarrow|z|= 1 \end{align*}$ Posons donc $z=e^{i\theta}$ où $\theta\notin\pi\Zz$ . En reportant dans $(E)$ , on obtient

$\begin{align*} z\;\mbox{solution de}\;(E)&\Leftrightarrow e^{i\theta}+e^{-i\theta}+|1+e^{i\theta}|= 0\Leftrightarrow2\cos\theta+|e^{i\theta/2}|.|2\cos\frac{\theta}{2}|=0\\ &\Leftrightarrow\cos\theta+|\cos\frac{\theta}{2}|=0\Leftrightarrow2|\cos\frac{\theta}{2}|^2+|\cos\frac{\theta}{2}|-1=0 \Leftrightarrow|\cos\frac{\theta}{2}|\;\text{est solution de l'équation}\;2X^2+X-1=0\\ &\Leftrightarrow\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|\in\left\{\frac{1}{2},-1\right\}\Leftrightarrow\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|=\frac{1}{2} \Leftrightarrow2\cos^2\frac{\theta}{2}-1=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow\cos\theta=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow\theta\in\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi\Zz\\ &\Leftrightarrow z\in\{j,j^2\} \end{align*}$ Les nombres complexes solutions sont donc $j$ et $j^2$ .

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