exo7 7007

On admet le résultat suivant:
Quatre points distincts d’affixes $a, b, c, d$ sont cocycliques ou alignés (resp. cocycliques ou alignés dans cet ordre) si et seulement si leur birapport $$[a,b,c,d]:= \frac{(a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)}$$ est un réel (resp. réel positif).
Le but de l’exercice est de démontrer le théorème de Ptolémée dans sa version suivante:
Théorème (Ptolémée) Soient $A$, $B$, $C$, $D$ quatre points du plan non alignés. Alors on a $$AC\cdot BD \leq AB\cdot CD + AD\cdot BC,$$ avec égalité si et seulement si $A, B, C, D$ sont cocycliques dans cet ordre.