On admet le résultat suivant:
Quatre points distincts d’affixes \(a, b, c, d\) sont cocycliques ou alignés (resp. cocycliques ou alignés dans cet ordre) si et seulement si leur birapport \[[a,b,c,d]:= \frac{(a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)}\]
est un réel (resp. réel positif).
Le but de l’exercice est de démontrer le théorème de Ptolémée dans sa version suivante:
Théorème (Ptolémée) Soient \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) quatre points du plan non alignés. Alors on a
\[AC\cdot BD \leq AB\cdot CD + AD\cdot BC,\]
avec égalité si et seulement si \(A, B, C, D\) sont cocycliques dans cet ordre.
(Échauffement) Montrer que pour tous \(x, y, z \in \C\), \[|x|\cdot |y-z| \leq |y| \cdot |z-x| + |z|\cdot|x-y|.\]
Prouver le théorème si deux des points sont égaux.
Dans la suite on suppose les points distincts deux à deux. En utilisant les affixes \(a, b, c, d\) des points, prouver l’inégalité.
Étudier le cas d’égalité et conclure.