Soit $\theta\in\Rr$ .

$1-\cos\theta+i\sin\theta=0\Leftrightarrow\cos\theta=1\;\mbox{et}\;\sin\theta=0\Leftrightarrow\theta\in0+2\pi\Zz.$ Donc, $\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}$ existe pour $\theta\notin 2\pi\Zz$ . Pour un tel $\theta$ ,

$\begin{align*} \frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta} &= \frac{2\cos^2\frac{\theta}{2}-2i\sin\frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}}{2\sin^2\frac{\theta}{2}+2i\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}} \\ &= \frac{\cos\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\frac{\cos(\theta/2)-i\sin(\theta/2)}{\sin(\theta/2)+i\cos(\theta/2)} \\ &= \frac{\cos\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\frac{e^{-i\theta/2}}{e^{i(\pi-\theta)/2}} \\ &= -i\cotan\left(\frac{\theta}{2}\right). \end{align*}$ - 1er cas. $\cotan\frac{\theta}{2}>0\Leftrightarrow\frac{\theta}{2}\in\displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}]k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi[\Leftrightarrow\theta\in \displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}]2k\pi,\pi+2k\pi[$ . Dans ce cas, la forme trigonométrique de $\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}$ est $\cotan(\frac{\theta}{2})e^{-i\pi/2}$ (module $=\cotan(\frac{\theta}{2})$ et argument $=-\frac{\pi}{2}\;(2\pi)$ ).

$\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}=\left[\cotan\left(\frac{\theta}{2}\right),-\frac{\pi}{2}\right].$ - 2ème cas. $\cotan\frac{\theta}{2}<0\Leftrightarrow\theta\in \displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}]\pi+2k\pi,2(k+1)\pi[$ . Dans ce cas,

$\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}=-\cotan(\frac{\theta}{2}).e^{i\pi/2} =|\cotan(\frac{\theta}{2})|e^{i\pi/2},$ et donc,

$\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}=\left[-\cotan\left(\frac{\theta}{2}\right),\frac{\pi}{2}\right].$ - 3ème cas. $\cotan\frac{\theta}{2}=0\Leftrightarrow\theta\in\pi+2\pi\Zz$ . Dans ce cas, on a $\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}=0$ . Pour $\theta\notin2\pi\Zz$ , on a

$\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}=\frac{e^{i\theta/2}(e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2})}{e^{i\theta/2}(e^{-i\theta/2}- e^{i\theta/2})}=\frac{2\cos\frac{\theta}{2}}{-2i\sin\frac{\theta}{2}}=i\cotan\frac{\theta}{2}.$ Si $\theta\in\displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}]2k\pi,\pi+2k\pi[$ , $\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}=[\cotan\frac{\theta}{2},\frac{\pi}{2}]$ . Si $\theta\in\displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}]\pi+2k\pi,2(k+1)\pi[$ , $\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}=[-\cotan\frac{\theta}{2},-\frac{\pi}{2}]$ . Si $\theta\in\pi+2\pi\Zz$ , $\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}=0$ .

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