Le théorème de Bolyai affirme que deux polygones de même aire peuvent toujours être obtenus l’un à partir de l’autre par découpage et recollement. On va étudier le découpage d’un triangle équilatéral pour obtenir un carré de même aire.
On considère un triangle équilatéral \(ABC\) que l’on souhaite découper de façon à pouvoir le transformer en un rectangle, voire un carré.
On part du triangle équilatéral \(ABC\) et on place un point \(D\) sur \([BC]\) tel que \(0<BD<\frac{1}{2}BC\). On construit ensuite \(E\) sur le même segment tel que \(DE=\frac{1}{2}BC\).
On joint \(D\) au milieu \(B'\) de \([AC]\), et on appelle \(H\) et \(K\) les projetés orthogonaux de \(C'\) et \(E\) sur \([B'D]\).
On suppose le découpage effectué selon le modèle des figures a et b donne un rectangle sur la figure \(b\).
Refaire des figures en choisissant \(D\) proche de \(B\).
Montrer en utilisant le fait que la figure b est un rectangle avec coïncidence de certains points que :
\(B'\) et \(C'\) sont les milieux de \([AB]\) et \([AC]\),
\(DE=\frac{1}{2}BC\),
\(KE=HC'\),
\(DH=KB'\).