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Le théorème de Bolyai affirme que deux polygones de même aire peuvent toujours être obtenus l’un à partir de l’autre par découpage et recollement. On va étudier le découpage d’un triangle équilatéral pour obtenir un carré de même aire.

On considère un triangle équilatéral $ABC$ que l’on souhaite découper de façon à pouvoir le transformer en un rectangle, voire un carré.

On part du triangle équilatéral $ABC$ et on place un point $D$ sur $[BC]$ tel que $0<BD<\frac{1}{2}BC$. On construit ensuite $E$ sur le même segment tel que $DE=\frac{1}{2}BC$. On joint $D$ au milieu $B'$ de $[AC]$, et on appelle $H$ et $K$ les projetés orthogonaux de $C'$ et $E$ sur $[B'D]$.
On suppose le découpage effectué selon le modèle des figures a et b donne un rectangle sur la figure $b$. Refaire des figures en choisissant $D$ proche de $B$. Montrer en utilisant le fait que la figure b est un rectangle avec coïncidence de certains points que :