L2 Analyse Suite et série de fonctions Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI 4 questions

exo7 4507

Soit ${f_n} : {[0,+\infty[} \to {\R}$ , $\begin{cases} x \le n &(1- x/n)^n \cr x > n &0. \cr\end{cases}$

1

Déterminer la limite simple, $f$ , des fonctions $f_n$ .

2

Montrer que : $\forall\ x\in \R^+,\ 0 \le f_n(x) \le f(x)$ .

3

Montrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment $[0,a]$ .

4

Démontrer que la convergence est uniforme sur $\R^+$ .