$9^\circ$ , $-27^\circ$ , $-63^\circ$ et $81^\circ$ vérifient $\tan(5\times9^\circ)=\tan(5\times(-27^\circ))=\tan(5\times(-63^\circ))=\tan(5\times81^\circ)=1$ . On résoud donc l’équation :

$\tan(5x)=1\Leftrightarrow5x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi\Zz\right)\Leftrightarrow x\in\left(\frac{\pi}{20}+\frac{\pi}{5}\Zz\right).$ Les solutions, exprimées en degrés et éléments de $]-90^\circ,90^\circ[$ , sont $-63^\circ$ , $-27^\circ$ , $9^\circ$ , $45^\circ$ et $81^\circ$ . Ainsi, les cinq nombres $\tan(-63^\circ)$ , $\tan(-27^\circ)$ , $\tan(9^\circ)$ , $\tan(45^\circ)$ et $\tan(81^\circ)$ sont deux à deux distincts et solutions de l’équation $\frac{5X-10X^3+X^5}{1-10X^2+5X^4}=1$ qui s’écrit encore :

$X^5-5X^4-10X^3+10X^2+5X-1=0.$

Le polynôme $X^5-5x^4-10X^3+10X^2+5X-1$ admet déjà $\tan(45^\circ)=1$ pour racine et on a

$X^5-5X^4-10X^3+10X^2+5X-1=(X-1)(X^4-4X^3-14X^2-4X+1).$ Les quatre nombres $\tan(-63^\circ)$ , $\tan(-27^\circ)$ , $\tan(9^\circ)$ et $\tan(81^\circ)$ sont ainsi les racines du polynôme $X^4-4X^3-14X^2-4X+1$ . Ce dernier peut donc encore s’écrire $(X-\tan(9^\circ))(X+\tan(27^\circ))(X+\tan(63^\circ))(X-\tan(81^\circ))$ . L’opposé du coefficient de $X^3$ à savoir $4$ vaut donc également $\tan(9^\circ)-\tan(27^\circ)-\tan(63^\circ)+\tan(81^\circ)$ et on a montré que :

$\tan(9^\circ)-\tan(27^\circ)-\tan(63^\circ)+\tan(81^\circ)=4.$

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