\(9^\circ\), \(-27^\circ\), \(-63^\circ\) et \(81^\circ\) vérifient \(\tan(5\times9^\circ)=\tan(5\times(-27^\circ))=\tan(5\times(-63^\circ))=\tan(5\times81^\circ)=1\). On résoud donc l’équation :

\[\tan(5x)=1\Leftrightarrow5x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi\Zz\right)\Leftrightarrow x\in\left(\frac{\pi}{20}+\frac{\pi}{5}\Zz\right).\] Les solutions, exprimées en degrés et éléments de \(]-90^\circ,90^\circ[\), sont \(-63^\circ\), \(-27^\circ\), \(9^\circ\), \(45^\circ\) et \(81^\circ\). Ainsi, les cinq nombres \(\tan(-63^\circ)\), \(\tan(-27^\circ)\), \(\tan(9^\circ)\), \(\tan(45^\circ)\) et \(\tan(81^\circ)\) sont deux à deux distincts et solutions de l’équation \(\frac{5X-10X^3+X^5}{1-10X^2+5X^4}=1\) qui s’écrit encore :

\[X^5-5X^4-10X^3+10X^2+5X-1=0.\]

Le polynôme \(X^5-5x^4-10X^3+10X^2+5X-1\) admet déjà \(\tan(45^\circ)=1\) pour racine et on a

\[X^5-5X^4-10X^3+10X^2+5X-1=(X-1)(X^4-4X^3-14X^2-4X+1).\] Les quatre nombres \(\tan(-63^\circ)\), \(\tan(-27^\circ)\), \(\tan(9^\circ)\) et \(\tan(81^\circ)\) sont ainsi les racines du polynôme \(X^4-4X^3-14X^2-4X+1\). Ce dernier peut donc encore s’écrire \((X-\tan(9^\circ))(X+\tan(27^\circ))(X+\tan(63^\circ))(X-\tan(81^\circ))\). L’opposé du coefficient de \(X^3\) à savoir \(4\) vaut donc également \(\tan(9^\circ)-\tan(27^\circ)-\tan(63^\circ)+\tan(81^\circ)\) et on a montré que :

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