En quoi le raisonnement suivant est-il faux ?
Soit \(\mathcal{P}(n)\) : \(n\) crayons de couleurs sont tous de la même couleur.
1
\(\mathcal{P}(1)\) est vraie car un crayon de couleur est de la même couleur que lui-même.
2
Supposons \(\mathcal{P}(n)\). Soit \(n+1\) crayons. On en retire \(1\). Les \(n\) crayons restants sont de la même couleur par hypothèse de récurrence.
Reposons ce crayon et retirons-en un autre ; les \(n\) nouveaux crayons sont à nouveau de la même couleur. Le premier crayon retiré était donc bien de la même couleur que les \(n\) autres. La proposition est donc vraie au rang \(n+1\).
3
On a donc démontré que tous les crayons en nombre infini dénombrable sont de la même couleur.