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$\mathcal{P}(1)$ est vraie car un crayon de couleur est de la même couleur que lui-même.

Supposons $\mathcal{P}(n)$. Soit $n+1$ crayons. On en retire $1$. Les $n$ crayons restants sont de la même couleur par hypothèse de récurrence.

Reposons ce crayon et retirons-en un autre ; les $n$ nouveaux crayons sont à nouveau de la même couleur. Le premier crayon retiré était donc bien de la même couleur que les $n$ autres. La proposition est donc vraie au rang $n+1$.

On a donc démontré que tous les crayons en nombre infini dénombrable sont de la même couleur.