Soit $M$ une matrice telle que $M^2=0$ et soit $f$ l’application linéaire associée à $M$ . Comme $M^2=0$ alors $f\circ f = 0$ . Cela entraîne $\Im f \subset \Ker f$ . Discutons suivant la dimension du noyau : Si $\dim \Ker f=3$ alors $f=0$ donc $M=0$ (la matrice nulle). Si $\dim \Ker f=2$ alors prenons une base de $\Rr^3$ formée de deux vecteurs du noyau et d’un troisième vecteur. Dans cette base la matrice de $f$ est $M'=\begin{pmatrix}0&0&a\\0& 0 & b\\0&0&c\end{pmatrix}$ mais comme $f\circ f=0$ alors $M'^2=0$ ; un petit calcul implique $c=0$ . Donc $M$ et $M'$ sont les matrices de la même application linéaire $f$ mais exprimées dans des bases différentes, donc $M$ et $M'$ sont semblables. Si $\dim \Ker f=1$ alors comme $\Im f \subset \Ker f$ on a $\dim \Im f \le 1$ mais alors cela contredit le théorème du rang : $\dim \Ker f + \dim \Im f = \dim \Rr^3$ . Ce cas n’est pas possible. Conclusion : $M$ est une matrice qui vérifie $M^2=0$ si et seulement si il existe une matrice inversible $P$ et des réels $a,b$ tels que $M=P^{-1} \begin{pmatrix}0&0&a\\0& 0 & b\\0&0&0\end{pmatrix}P$

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