Soit \(M\) une matrice telle que \(M^2=0\) et soit \(f\) l’application linéaire associée à \(M\). Comme \(M^2=0\) alors \(f\circ f = 0\). Cela entraîne \(\Im f \subset \Ker f\). Discutons suivant la dimension du noyau : Si \(\dim \Ker f=3\) alors \(f=0\) donc \(M=0\) (la matrice nulle). Si \(\dim \Ker f=2\) alors prenons une base de \(\Rr^3\) formée de deux vecteurs du noyau et d’un troisième vecteur. Dans cette base la matrice de \(f\) est \(M'=\begin{pmatrix}0&0&a\\0& 0 & b\\0&0&c\end{pmatrix}\) mais comme \(f\circ f=0\) alors \(M'^2=0\) ; un petit calcul implique \(c=0\). Donc \(M\) et \(M'\) sont les matrices de la même application linéaire \(f\) mais exprimées dans des bases différentes, donc \(M\) et \(M'\) sont semblables. Si \(\dim \Ker f=1\) alors comme \(\Im f \subset \Ker f\) on a \(\dim \Im f \le 1\) mais alors cela contredit le théorème du rang : \(\dim \Ker f + \dim \Im f = \dim \Rr^3\). Ce cas n’est pas possible. Conclusion : \(M\) est une matrice qui vérifie \(M^2=0\) si et seulement si il existe une matrice inversible \(P\) et des réels \(a,b\) tels que \[M=P^{-1} \begin{pmatrix}0&0&a\\0& 0 & b\\0&0&0\end{pmatrix}P\]

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