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\(I\subset {\Rr}^{+*}\) un intervalle de \({\Rr},J=\left\{ x;\frac{1}{x}\in I\right\} .\)
Montrer que \(J\) est un intervalle de \({\Rr}^{+*},\) puis que si \((x,y)\in I^{2},\) alors : \[\forall \lambda \in [0,1],\exists \mu \in [0,1],\frac{1}{\lambda x+(1-\lambda )y}=\mu \frac{1}{x}+(1-\mu )\frac{1}{y}.\] Soit \(f\) continue sur \(I,\) et \(g\) définie sur \(J\) par \(g(x)=f(\frac{1}{x}),h\) définie sur \(I\) par \(h(x)=xf(x).\) Montrer que \(g\) est convexe \(\Leftrightarrow h\) est convexe.