On définit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) par \(u_0=20\), \(v_0=1\) et \[u_{n+1}=\frac{u_n+4v_n}{5}\textrm{ et } v_{n+1}=\frac{u_n+5v_n}{6}\]
1
Pour tout entier \(n\), on pose \(w_n=u_n-v_n\).
Montrer que \((w_n)\) est une suite géométrique, à termes positifs.
Déterminer la limite de \((w_n)\), et exprimer \(w_n\) en fonction de \(n\).
2
Démontrer que la suite \((u_n)\) est décroissante, et que la suite \((v_n)\) est croissante.
3
Démontrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes.
4
Pour tout entier \(n\), on pose \(t_n=5u_n+24v_n\).
Démontrer que la suite \((t_n)\) est constante.
En déduire l’expression de \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\), et déterminer la limite de \((u_n)\) et \((v_n)\).