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Le but de ce problème est de montrer que l’équation $X^2+X+1=0$ peut avoir un nombre arbitrairement grand de solutions dans les anneaux $\Z/n\Z$ .

Pour un nombre premier $p$ , on notera $\mathbb{F}_p$ le corps $\Z/p\Z$ . On rappelle qu’alors le groupe $(\mathbb{F}_p^\times,\times)$ des inversibles de $\mathbb{F}_p$ est cyclique. On pourra admettre le résultat d’une question pour continuer.

Si $p$ est un nombre premier, combien au maximum l’équation $X^2+X+1=0$ a-t-elle de solutions dans l’anneau $\Z/p\Z$ ?

Déterminer les solutions de l’équation $X^2+X+1=0$

[a] dans $\Z/2\Z$ , dans $\Z/2n\Z$ .

[b] dans $\Z/7\Z$ .

[c] dans $\Z/13\Z$ .

[d] À l’aide des questions précédentes, déterminer les solutions de l’équation
$X^2+X+1=0$ dans $\Z/91\Z$ .

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