Le but de ce problème est de montrer que l’équation \(X^2+X+1=0\) peut avoir un nombre arbitrairement grand de solutions dans les anneaux \(\Z/n\Z\).
Pour un nombre premier \(p\), on notera \(\mathbb{F}_p\) le corps \(\Z/p\Z\). On rappelle qu’alors le groupe \((\mathbb{F}_p^\times,\times)\) des inversibles de \(\mathbb{F}_p\) est cyclique. On pourra admettre le résultat d’une question pour continuer.
Si \(p\) est un nombre premier, combien au maximum l’équation \(X^2+X+1=0\) a-t-elle de solutions dans l’anneau \(\Z/p\Z\) ?
Déterminer les solutions de l’équation \(X^2+X+1=0\)
[a] dans \(\Z/2\Z\) , dans \(\Z/2n\Z\).
[b] dans \(\Z/7\Z\).
[c] dans \(\Z/13\Z\).
[d] À l’aide des questions précédentes, déterminer les solutions de l’équation
\(X^2+X+1=0\) dans \(\Z/91\Z\).