Soit $G = \langle a,b \rangle$ , tout élément $g$ de $G$ S’écrit $g = a^{\alpha_1}b^{\beta_1} a^{\alpha_2}b^{\beta_2}\ldots a^{\alpha_n}b^{\beta_n}$ avec $\alpha_i,\beta_i \in \Zz$ . Si $h \in \langle a \rangle \cap \langle b \rangle$ , alors en particulier $h \in \langle a \rangle$ et $h = a^\mu$ avec $\mu \in \Zz$ , donc $h$ commute avec $a^{\alpha_i}$ pour tout $\alpha_i$ dans $\Zz$ (en effet $a^{\alpha_i}a^{\mu} = a^{\alpha_i+\mu}= a^\mu a^{\alpha_i}$ . De même $h \in \langle b \rangle$ donc $h$ s’écrit également $h=b^\nu$ ( $\nu \in \Zz$ ) et $h$ commute avec $b^{\beta_i}$ . Donc $hg = (h a^{\alpha_1})b^{\beta_1}\ldots = (a^{\alpha_1}h)b^{\beta_1}\ldots = a^{\alpha_1}(h b^{\beta_1})\ldots = a^{\alpha_1}(b^{\beta_1}h)\ldots =\cdots$ Finalement $hg = a^{\alpha_1}b^{\beta_1}\ldots a^{\alpha_n}b^{\beta_n}h = gh$ . Ainsi $h$ commute avec tout élément de $G$ et appartient ainsi au centre de $G$ .

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