Soit \(G = \langle a,b \rangle\), tout élément \(g\) de \(G\) S’écrit \(g = a^{\alpha_1}b^{\beta_1} a^{\alpha_2}b^{\beta_2}\ldots a^{\alpha_n}b^{\beta_n}\) avec \(\alpha_i,\beta_i \in \Zz\). Si \(h \in \langle a \rangle \cap \langle b \rangle\), alors en particulier \(h \in \langle a \rangle\) et \(h = a^\mu\) avec \(\mu \in \Zz\), donc \(h\) commute avec \(a^{\alpha_i}\) pour tout \(\alpha_i\) dans \(\Zz\) (en effet \(a^{\alpha_i}a^{\mu} = a^{\alpha_i+\mu}= a^\mu a^{\alpha_i}\). De même \(h \in \langle b \rangle\) donc \(h\) s’écrit également \(h=b^\nu\) (\(\nu \in \Zz\)) et \(h\) commute avec \(b^{\beta_i}\). Donc \(hg = (h a^{\alpha_1})b^{\beta_1}\ldots = (a^{\alpha_1}h)b^{\beta_1}\ldots = a^{\alpha_1}(h b^{\beta_1})\ldots = a^{\alpha_1}(b^{\beta_1}h)\ldots =\cdots\) Finalement \(hg = a^{\alpha_1}b^{\beta_1}\ldots a^{\alpha_n}b^{\beta_n}h = gh\). Ainsi \(h\) commute avec tout élément de \(G\) et appartient ainsi au centre de \(G\).

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