On note \(\mathcal{S}_n\) le groupe symétrique des permutations sur \(n\) éléments.
Soit \(\rho\) un morphisme de groupes de \((\mathcal{S}_n,\circ)\) dans \((\{-1,1\},\cdot)\), c’est à dire une application de \(\mathcal{S}_n\) dans \(\{-1,1\}\) satisfaisant \[\forall(\sigma,\tau)\in\mathcal{S}_n\;\; \rho(\sigma\tau)=\rho(\sigma)\rho(\tau)\]
Calculer \(\rho(\mathrm{id})\). Pour tout cycle \(\gamma\) de longueur \(p\), calculer \(\gamma^{p}\). En déduire que lorsque \(p\) est impair, \(\rho(\gamma)=1\).
On suppose que pour toute transposition \(\tau\), \(\rho(\tau)=1\). Montrer que \(\forall\sigma\in\mathcal{S}_n,\;\rho(\sigma)=1\)
On suppose maintenant qu’il existe une transposition \(\tau_{0}=(a,b)\) pour laquelle \(\rho(\tau_{0})=-1\).
[(a)] Pour un élément \(c\in\{1,\ldots,n\}\setminus\{a,b\}\), calculer \((a,b)(a,c)\). En déduire que \(\rho(a,c)=-1\).
[(b)] Pour deux éléments distincts \(c\) et \(d\) de \(\{1,\ldots,n\}\), calculer \((a,c)(a,d)(a,c)\). En déduire que \(\rho(c,d)=-1\).
[(c)] En déduire que pour toute transposition \(\tau\), \(\rho(\tau)=-1\) puis montrer que pour toute permutation \(\sigma\in\mathcal{S}_n\), \(\rho(\sigma)\) est la signature de \(\sigma\).