Pour tout entier naturel $n$ , on a $\left\{ \begin{array}{l} u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}(v_n-u_n)\\ v_{n+1}-v_n=-\frac{1}{3}(v_n-u_n)\\ v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{1}{3}(v_n-u_n) \end{array} \right.$ . La dernière relation montre que la suite $v-u$ garde un signe constant puis les deux premières relations montrent que pour tout entier naturel $n$ , $\mbox{sgn}(u_{n+1}-u_n)=\mbox{sgn}(v_n-u_n)$ et $\mbox{sgn}(v_{n+1}-v_n)=-\mbox{sgn}(v_n-u_n)$ . Les suites $u$ et $v$ sont donc monotones de sens de variation opposés. Si par exemple $u_0\leq v_0$ , alors, pour tout naturel $n$ , on a :

$u_0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq v_{n+1}\leq v_n\leq v_0.$ Dans ce cas, la suite $u$ est croissante et majorée par $v_0$ et donc converge vers un certain réel $\ell$ . De même, la suite $v$ est décroissante et minorée par $u_0$ et donc converge vers un certain réel $\ell'$ . Enfin, puisque pour tout entier naturel $n$ , on a $u_{n+1}=\frac{2u_n+v_n}{3}$ , on obtient par passage à la limite quand $n$ tend vers l’infini, $\ell=\frac{2\ell+\ell'}{3}$ et donc $\ell=\ell'$ . Les suites $u$ et $v$ sont donc adjacentes. Si $u_0>v_0$ , il suffit d’échanger les rôles de $u$ et $v$ . Calcul des suites $u$ et $v$ . Pour $n$ entier naturel donné, on a $v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{1}{3}(v_n-u_n)$ . La suite $v-u$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ . Pour tout naturel $n$ , on a donc $v_n-u_n=\frac{1}{3^n}(v_0-u_0)$ . D’autre part, pour $n$ entier naturel donné, $v_{n+1}+u_{n+1}=v_n+u_n$ . La suite $v+u$ est constante et donc, pour tout entier naturel $n$ , on a $v_n+u_n=v_0+u_0$ . En additionnant et en retranchant les deux égalités précédentes, on obtient pour tout entier naturel $n$ :

$u_n=\frac{1}{2}\left(v_0+u_0+\frac{1}{3^n}(v_0-u_0)\right)\;\mbox{et}\;v_n=\frac{1}{2}\left(v_0+u_0-\frac{1}{3^n}(v_0-u_0)\right).$ En particulier, $\ell=\ell'=\frac{u_0+v_0}{2}$ .

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