Pour tout entier naturel \(n\), on a \(\left\{ \begin{array}{l} u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}(v_n-u_n)\\ v_{n+1}-v_n=-\frac{1}{3}(v_n-u_n)\\ v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{1}{3}(v_n-u_n) \end{array} \right.\). La dernière relation montre que la suite \(v-u\) garde un signe constant puis les deux premières relations montrent que pour tout entier naturel \(n\), \(\mbox{sgn}(u_{n+1}-u_n)=\mbox{sgn}(v_n-u_n)\) et \(\mbox{sgn}(v_{n+1}-v_n)=-\mbox{sgn}(v_n-u_n)\). Les suites \(u\) et \(v\) sont donc monotones de sens de variation opposés. Si par exemple \(u_0\leq v_0\), alors, pour tout naturel \(n\), on a :

\[u_0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq v_{n+1}\leq v_n\leq v_0.\] Dans ce cas, la suite \(u\) est croissante et majorée par \(v_0\) et donc converge vers un certain réel \(\ell\). De même, la suite \(v\) est décroissante et minorée par \(u_0\) et donc converge vers un certain réel \(\ell'\). Enfin, puisque pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_{n+1}=\frac{2u_n+v_n}{3}\), on obtient par passage à la limite quand \(n\) tend vers l’infini, \(\ell=\frac{2\ell+\ell'}{3}\) et donc \(\ell=\ell'\). Les suites \(u\) et \(v\) sont donc adjacentes. Si \(u_0>v_0\), il suffit d’échanger les rôles de \(u\) et \(v\). Calcul des suites \(u\) et \(v\). Pour \(n\) entier naturel donné, on a \(v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{1}{3}(v_n-u_n)\). La suite \(v-u\) est géométrique de raison \(\frac{1}{3}\). Pour tout naturel \(n\), on a donc \(v_n-u_n=\frac{1}{3^n}(v_0-u_0)\). D’autre part, pour \(n\) entier naturel donné, \(v_{n+1}+u_{n+1}=v_n+u_n\). La suite \(v+u\) est constante et donc, pour tout entier naturel \(n\), on a \(v_n+u_n=v_0+u_0\). En additionnant et en retranchant les deux égalités précédentes, on obtient pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_n=\frac{1}{2}\left(v_0+u_0+\frac{1}{3^n}(v_0-u_0)\right)\;\mbox{et}\;v_n=\frac{1}{2}\left(v_0+u_0-\frac{1}{3^n}(v_0-u_0)\right).\] En particulier, \(\ell=\ell'=\frac{u_0+v_0}{2}\).

exo7 5229