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Montrer que pour tout $\theta \in \Rr$, on a $$\cos(5 \theta) = 16 \cos( \theta)^5 - 20 \cos( \theta)^3 + 5 \cos( \theta).$$

En déduire que $$\cos\frac{\pi}{5} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \quad \text{ et } \quad \cos\frac{3 \pi}{5} = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$$

$$\sin\frac{ \pi}{10} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \quad \text{ et } \quad \sin\frac{3 \pi}{10} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.$$

On vérifiera que $$16 X^5 - 20 X^3 + 5 X + 1 = (X + 1) (4 X^2 - 2 X - 1)^2.$$

Quelle est la longueur des côtés d’un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon $1$? celle d’un décagone régulier?

On considère la construction suivante:

Les segments $[AB]$ et $[CD]$ sont deux diamètres orthogonaux d’un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$. Notons $\mathcal{C}_1$ le cercle de diamètre $[AO]$, et $P$ et $Q$ les points d’intersection du cercle $\mathcal{C}_1$ et de la droite passant par $C$ et par le centre de $\mathcal{C}_1$. Soient $R_0$ et $R_1$ les points d’intersection de $\mathcal{C}$ et du cercle de centre $C$ passant par $P$, et soient $S_0$ et $S_1$ les points d’intersection de $\mathcal{C}$ et du cercle de centre $C$ passant par $Q$. Calculer les longueurs $CP$ et $CQ$.

En déduire la mesure des angles $\widehat{COR_0}$ et $\widehat{COS_0}$.

En déduire que les points $D R_0 S_0 S_1 R_1$ forment un pentagone régulier.