Montrer que pour tout \(\theta \in \Rr\), on a \[\cos(5 \theta) = 16 \cos( \theta)^5 - 20 \cos( \theta)^3 + 5 \cos( \theta).\]
En déduire que \[\cos\frac{\pi}{5} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \quad \text{ et } \quad \cos\frac{3 \pi}{5} = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}\]
\[\sin\frac{ \pi}{10} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \quad \text{ et } \quad \sin\frac{3 \pi}{10} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.\]
On vérifiera que \[16 X^5 - 20 X^3 + 5 X + 1 = (X + 1) (4 X^2 - 2 X - 1)^2.\]
Quelle est la longueur des côtés d’un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon \(1\)? celle d’un décagone régulier?
On considère la construction suivante:
Les segments \([AB]\) et \([CD]\) sont deux diamètres orthogonaux d’un cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\). Notons \(\mathcal{C}_1\) le cercle de diamètre \([AO]\), et \(P\) et \(Q\) les points d’intersection du cercle \(\mathcal{C}_1\) et de la droite passant par \(C\) et par le centre de \(\mathcal{C}_1\). Soient \(R_0\) et \(R_1\) les points d’intersection de \(\mathcal{C}\) et du cercle de centre \(C\) passant par \(P\), et soient \(S_0\) et \(S_1\) les points d’intersection de \(\mathcal{C}\) et du cercle de centre \(C\) passant par \(Q\). Calculer les longueurs \(CP\) et \(CQ\).
En déduire la mesure des angles \(\widehat{COR_0}\) et \(\widehat{COS_0}\).
En déduire que les points \(D R_0 S_0 S_1 R_1\) forment un pentagone régulier.