Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), définies, continues et dérivables sur \([ \mbox{0,1}]\) et vérifiant \(f(0)=0\). On définit sur cet espace les deux normes suivantes : \[N_1(f)= \| {f}\|_\infty \mbox{~et~} N_2(f)= \| {f'}\|_\infty.\]
1
Montrer que \(N_1(f) \leq N_2(f)\). En déduire que l’application identique de \((E, N_2)\) vers \((E, N_1)\) est continue.
2
A l’aide de la fonction \(f_n(x)={x^n \over n}\), montrer que l’application identique de \((E, N_1)\) vers \((E, N_2)\) n’est pas continue.