On peut essayer d’appliquer l’inégalité arithmético-géométrique à chaque facteur. Ceci donne $\left(1+\frac1a\right)\left(1+\frac1b\right) \geq \left(\frac{2}{\sqrt a}\right)\left(\frac{2}{\sqrt b}\right) = \frac{4}{\sqrt{ab}},$ ce qui minore la quantité par $1$ après une deuxième utilisation de l’inégalité arithmético-géométrique sur le dénominateur et utilisation de $a+b=8$ , mais cette dernière minoration est évidente vu la forme initiale de l’expression : les deux facteurs sont supérieurs à $1$ .

(Remarque : lors de la première utilisation de l’inégalité arithmético-géométrique, il y avait égalité ssi $a=1$ et $b=1$ ce qui est impossible vu l’énoncé. L’inégalité est donc toujours stricte, ce qui indique que la minoration n’est sans doute pas très précise.)

Commençons donc plutôt par développer la quantité à minorer. On a $\left(1+\frac1a\right)\left(1+\frac1b\right) = \frac{1+a+b+ab}{ab} = \frac{9+ab}{ab} = 1+\frac{9}{ab}.$ Il s’agit donc de majorer le produit $ab$ . L’inégalité arithmético-géométrique donne $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}=4$ , donc $ab\leq 16$ . On en déduit que $\frac{1}{ab} \geq \frac{1}{16}$ et donc que $\left(1+\frac1a\right)\left(1+\frac1b\right) \geq 1+\frac{9}{16} = \frac{25}{16},$ avec égalité ssi $a=b=4$ .

Remarque : il est préférable d’utiliser les contraintes (ici $a+b=8$ ) le plus tôt possible dans les majorations ou minorations successives, pour gagner en précision.

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