On peut essayer d’appliquer l’inégalité arithmético-géométrique à chaque facteur. Ceci donne \[\left(1+\frac1a\right)\left(1+\frac1b\right) \geq \left(\frac{2}{\sqrt a}\right)\left(\frac{2}{\sqrt b}\right) = \frac{4}{\sqrt{ab}},\] ce qui minore la quantité par \(1\) après une deuxième utilisation de l’inégalité arithmético-géométrique sur le dénominateur et utilisation de \(a+b=8\), mais cette dernière minoration est évidente vu la forme initiale de l’expression : les deux facteurs sont supérieurs à \(1\).

(Remarque : lors de la première utilisation de l’inégalité arithmético-géométrique, il y avait égalité ssi \(a=1\) et \(b=1\) ce qui est impossible vu l’énoncé. L’inégalité est donc toujours stricte, ce qui indique que la minoration n’est sans doute pas très précise.)

Commençons donc plutôt par développer la quantité à minorer. On a \[\left(1+\frac1a\right)\left(1+\frac1b\right) = \frac{1+a+b+ab}{ab} = \frac{9+ab}{ab} = 1+\frac{9}{ab}.\] Il s’agit donc de majorer le produit \(ab\). L’inégalité arithmético-géométrique donne \(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}=4\), donc \(ab\leq 16\). On en déduit que \(\frac{1}{ab} \geq \frac{1}{16}\) et donc que \[\left(1+\frac1a\right)\left(1+\frac1b\right) \geq 1+\frac{9}{16} = \frac{25}{16},\] avec égalité ssi \(a=b=4\).

Remarque : il est préférable d’utiliser les contraintes (ici \(a+b=8\)) le plus tôt possible dans les majorations ou minorations successives, pour gagner en précision.

exo7 7177