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Théorème de Guldin Soit \(D_0\) un domaine tracé dans le demi-plan \(\{ (x,0,z)\in \R^3 \mid x\geq 0 \}\). Si l’on fait tourner \(D_0\) autour de l’axe \(Oz\), on obtient un domaine \(D\) de \(\R^3\). En utilisant les coordonnées cylindriques. montrer que \[Vol\, (D) = 2\pi Aire\, (D_0)\cdot x_G\, ,\] où \((x_G,z_G)\) sont les coordonnées du centre d’inertie du domaine \(D_0\).
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Calculer les volumes des domaines suivants :
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le tore obtenu en faisant tourner autour de \(Oz\) le domaine \(D_0=\{ (x,0,z)\mid \frac{(x-c)^2}{a^2} +\frac{z^2}{b^2}\leq 1 \}\), où \(a<c\) ;
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\(D=\left\{ (x,y,z)\in \R^3 \mid x^2 +y^2 +z^2 \leq 4R^2\, ,\, x^2 +y^2 \leq R^2 \right\}\), où \(R>0\).