exo7 1926

Théorème de Guldin Soit $D_0$ un domaine tracé dans le demi-plan $\{ (x,0,z)\in \R^3 \mid x\geq 0 \}$. Si l’on fait tourner $D_0$ autour de l’axe $Oz$, on obtient un domaine $D$ de $\R^3$. En utilisant les coordonnées cylindriques. montrer que $$Vol\, (D) = 2\pi Aire\, (D_0)\cdot x_G\, ,$$ où $(x_G,z_G)$ sont les coordonnées du centre d’inertie du domaine $D_0$.

Calculer les volumes des domaines suivants :

le tore obtenu en faisant tourner autour de $Oz$ le domaine $D_0=\{ (x,0,z)\mid \frac{(x-c)^2}{a^2} +\frac{z^2}{b^2}\leq 1 \}$, où $a<c$ ;

$$D=\left\{ (x,y,z)\in \R^3 \mid x^2 +y^2 +z^2 \leq 4R^2\, ,\, x^2 +y^2 \leq R^2 \right\} ,$$ où $R>0$.