Soit \(G\) un groupe, \(H\) et \(K\) deux sous-groupes de \(G .\) On note \(HK=\{ hk ; h\in H , k\in K\} .\) On suppose que \(K\) est distingué dans \(G .\)
1
Montrer que \(HK=KH\) et que \(HK\) est un sous-groupe de \(G .\)
2
Montrer que \(H\) et \(K\) sont des sous-groupes de \(KH\) et que \(K\cap H\) est un sous-groupe distingué de \(H\) et que \(K\) est distingué dans \(KH .\)
3
Soit \(\varphi : H\rightarrow (HK)/K\) la restriction à \(H\) de l’application quotient. Calculer le noyau et l’image de \(\varphi .\) En déduire que les groupes \(H/(K\cap H)\) et \((HK)/K\) sont isomorphes.