Démontrer que si \(J\) est un idéal premier de l’anneau \(\Zz[x]\), alors \[J=(0), \quad (p), \quad (f)\ \ \text{\ ou\ } \ \ (p,g),\] où \(p\) est premier, \(f\in \Zz[x]\) est un polynôme irréductible de degré positif et \(g\) est un polynôme, tel que sa réduction modulo \(p\) est irréductible sur \(\Zz_p\). Le dernier cas, \(J=(p,g)\) , nous donne la forme générale d’un idéal maximal dans \(\Zz[x]\). Le plan de la démonstration est le suivant.
Soit \(B\) un sous-anneau de l’anneau \(A\), \(I\) un idéal premier de \(A\). Montrer que \(B\cap I\) est soit un idéal premier de \(B\), soit l’anneau \(B\) lui-même.
Soit \(J\) un id’eal premier de \(\Zz[x]\). Montrer que \(\Zz\cap J=(0)\) ou \((p)\) où \(p\) est premier.
Supposons que \(\Zz\cap J=(0)\). Montrer que si \(J\ne (0)\), alors \(J\) est engendré par un polynôme primitif de \(J\) de degré minimal.
Supposons que \(\Zz\cap J=(p)\). Soit \(r_p\,:\,\Zz[x]\to \Zz_p[x]\) la réduction modulo \(p\). Montrer que l’idéal \(r_p(J)\) est premier et que \(J=(p,g)\).
Montrer que \(J\) est maximal ssi \(J=(p,g)\) où \(p\) est premier et \(r_p(g)\) est irréductible dans \(\Zz_p[x]\).