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Soit $B$ un sous-anneau de l’anneau $A$, $I$ un idéal premier de $A$. Montrer que $B\cap I$ est soit un idéal premier de $B$, soit l’anneau $B$ lui-même.

Soit $J$ un id’eal premier de $\Zz[x]$. Montrer que $\Zz\cap J=(0)$ ou $(p)$ où $p$ est premier.

Supposons que $\Zz\cap J=(0)$. Montrer que si $J\ne (0)$, alors $J$ est engendré par un polynôme primitif de $J$ de degré minimal.

Supposons que $\Zz\cap J=(p)$. Soit $r_p\,:\,\Zz[x]\to \Zz_p[x]$ la réduction modulo $p$. Montrer que l’idéal $r_p(J)$ est premier et que $J=(p,g)$.

Montrer que $J$ est maximal ssi $J=(p,g)$ où $p$ est premier et $r_p(g)$ est irréductible dans $\Zz_p[x]$.