Pour tout couple de nombres réels \((x,y)\) montrer, par récurrence, que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) on a la relation \[(*)\; x^{n}-y^{n} = (x-y).\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}y^{n-1-k}.\] Indication: on pourra écrire de deux manières différentes la quantité \(y(x^{n}-y^{n}) + (x-y)x^{n}.\)
[div] Soit \((a,b,p)\) des entiers éléments de \(\mathbb{N}\). En utilisant la formule \((*),\) montrer que s’il existe un entier \(l \in \mathbb{N}\) tel que \(b = a+pl,\) alors pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*},\) il existe un entier \(m \in \mathbb{N}\) tel que \(b^{n} = a^{n}+pm.\)
[divv] Soient \(a,b,p\) des entiers éléments de \(\mathbb{N}\), en utilisant la question [div], montrer que si \(a-b\) est divisible par \(p,\) \[\sum_{k=0}^{p-1}a^{k}b^{p-k-1}\] est aussi divisible par \(p.\) En déduire, à l’aide de la question [div] et de la formule \((*),\) que si \(a-b\) est divisible par \(p^{n}\) i.e. il existe un entier \(l \in \mathbb{N}\) tel que \(a-b = l.p^{n},\) alors \(a^{p}-b^{p}\) est divisible par \(p^{n+1}.\)