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Pour tout couple de nombres réels $(x,y)$ montrer, par récurrence, que pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ on a la relation $$(*)\; x^{n}-y^{n} = (x-y).\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}y^{n-1-k}.$$ Indication: on pourra écrire de deux manières différentes la quantité $y(x^{n}-y^{n}) + (x-y)x^{n}.$

Soit $(a,b,p)$ des entiers éléments de $\mathbb{N}$. En utilisant la formule $(*),$ montrer que s’il existe un entier $l \in \mathbb{N}$ tel que $b = a+pl,$ alors pour tout $n \in \mathbb{N}^{*},$ il existe un entier $m \in \mathbb{N}$ tel que $b^{n} = a^{n}+pm.$

Soient $a,b,p$ des entiers éléments de $\mathbb{N}$, en utilisant la question [div], montrer que si $a-b$ est divisible par $p,$ $$\sum_{k=0}^{p-1}a^{k}b^{p-k-1}$$ est aussi divisible par $p.$ En déduire, à l’aide de la question [div] et de la formule $(*),$ que si $a-b$ est divisible par $p^{n}$ i.e. il existe un entier $l \in \mathbb{N}$ tel que $a-b = l.p^{n},$ alors $a^{p}-b^{p}$ est divisible par $p^{n+1}.$