Soient $a_1< ... <a_n$ $n$ réels deux à deux distincts et $\lambda_1$ ,..., $\lambda_n$ n réels tels que $\sum_{i=1}^{n}\lambda_if_{a_i}=0$ $(*)$ .

Première solution. Après multiplication des deux membres de $(*)$ par $x$ puis passage à la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ , on obtient $\lambda_n=0$ . En réitérant, on obtient donc $\lambda_n=\lambda_{n-1}=...=\lambda_1=0$ .

Deuxième solution. On note $f$ la fonction apparaissant au premier membre de $(*)$ .

$\begin{align*}\ensuremath f=0&\Rightarrow \forall k\in\llbracket0,,n-1\rrbracket,\;f^{(k)}(0)=0\\ &\Rightarrow\forall k\in\llbracket0,n-1\rrbracket,\;\lambda_1a_1^k+...+\lambda_na_n^k=0. \end{align*}$

Le système prédédent d’ inconnues $\lambda_i$ , $1\leqslant n$ , est un système linéaire homogène à $n$ équations et $n$ inconnues. Son déterminant est le déterminant de des $a_i$ et est non nul puisque les $a_i$ sont deux à deux distincts. Le système est donc de Cramer et admet l’unique solution $(0,...,0)$ .

Troisième solution. ( dans le cas où on se restreint à démontrer la liberté de la famille $(x\mapsto e^{nx})_{n\in\Nn}$ ).

Soient $n_1< ... < n_p$ $p$ entiers naturels deux à deux distincts. Supposons que pour tout réel $x$ on ait $\sum_{i=1}^{n}\lambda_ie^{n_ix}=0$ . On en déduit que pour tout réel strictement positif $t$ , on a $\sum_{i=1}^{n}\lambda_it^{n_i}=0$ et donc le polynôme $\sum_{i=1}^{n}\lambda_iX^{n_i}$ est nul (car a une infinité de racines) ou encore les coefficients du polynôme $\sum_{i=1}^{n}\lambda_iX^{n_i}$ à savoir les $\lambda_i$ sont tous nuls.

Quatrième solution. (pour les redoublants) L’application $\varphi$ qui à $f$ de classe $C^\infty$ fait correspondre sa dérivée est un endomorphisme de l’espace des fonctions de classe $C^\infty$ sur $\Rr$ à valeurs dans $\Rr$ . Pour $a$ réel donné, $\varphi(f_a)=af_a$ et la famille $(f_a)_{a\in\Rr}$ est constituée de vecteurs propres de $\varphi$ (les $f_a$ sont non nulles) associés à des valeurs propres deux à deux distinctes. On sait qu’une telle famille est libre.

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