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Soit \(P \in \R_n[X]\setminus\{0\}\).
Pour \(x\in\R\) on note \(V(x)\) le nombre de changements de signe dans la suite \((P(x),P'(x),\dots,P^{(n)}(x))\) en convenant de retirer les termes nuls. Soient \(\alpha<\beta\) deux réels non racines de \(P\). Montrer que le nombre de racines de \(P\) dans \([\alpha,\beta]\), comptées avec leur ordre de multiplicité, a même parité que \(V(\alpha)-V(\beta)\) et que \(V(\alpha)-V(\beta)\ge 0\).