$V(\alpha)$ est pair si et seulement si $P(\alpha)$ et $P^{(n)}(\alpha)$ ont même signe, de même pour $V(\beta)$ . Comme $P^{(n)}(\alpha) = P^{(n)}(\beta)$ on en déduit que $V(\alpha)-V(\beta)$ est pair si et seulement si $P(\alpha)$ et $P(\beta)$ ont même signe, donc si et seulement si $P$ a un nombre pair de racines dans $[\alpha,\beta]$ .

Décroissance de $V$ : $V$ est constant sur tout intervalle ne contenant aucune racine de $P,P',\dots,P^{(n-1)}$ . Considérons $x_0\in{[\alpha,\beta[}$ tel que $P^{(k)}(x_0) \ne 0$ , $P^{(k+1)}(x_0) = \dots = P^{(\ell-1)}(x_0) = 0$ et $P^{(\ell)}(x_0) \ne 0$ . Alors pour $x$ proche de $x_0$ avec $x>x_0$ , $P^{(k)}(x)$ a même signe que $P^{(k)}(x_0)$ et $P^{(k+1)}(x),\dots,P^{(\ell)}(x)$ ont même signe que $P^{(\ell)}(x_0)$ donc les nombres de changements de signe dans les sous-suites $(P^{(k)}(x),\dots,P^{(\ell)}(x))$ et $(P^{(k)}(x_0),\dots,P^{(\ell)}(x_0))$ sont égaux. De même si $P(x_0) = \dots = P^{(\ell-1)}(x_0) = 0$ et $P^{(\ell)}(x_0) \ne 0$ . Ceci prouve que $V(x_0^+) = V(x_0)$ pour tout $x_0\in{[\alpha,\beta[}$ .

On considère à présent $x_0\in{]\alpha,\beta]}$ tel que $P^{(k)}(x_0) \ne 0$ , $P^{(k+1)}(x_0) = \dots = P^{(\ell-1)}(x_0) = 0$ et $P^{(\ell)}(x_0) \ne 0$ . Alors pour $x$ proche de $x_0$ avec $x<x_0$ la sous-suite $(P^{(k)}(x),\dots,P^{(\ell)}(x))$ a $\ell-k-1$ changements de signe si $P^{(k)}(x_0)$ et $P^{(\ell)}(x_0)$ ont même signe, $\ell-k$ changements de signe sinon tandis que la sous-suite $(P^{(k)}(x_0),\dots,P^{(\ell)}(x_0))$ en a un ou zéro. De même, si $P(x_0) = \dots = P^{(\ell-1)}(x_0) = 0$ et $P^{(\ell)}(x_0) \ne 0$ on trouve $\ell$ changements de signe pour $(P(x),\dots,P^{(\ell)}(x))$ et zéro pour $(P(x_0),\dots,P^{(\ell)}(x_0))$ donc dans tous les cas $V(x_0^-) \ge V(x_0)$ . Ceci achève la démonstration.

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