Pour $\alpha\in]0,\pi[$ , posons $f(\alpha)=\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|)$ . $\{(\sin(n\alpha),\;n\in\Nn\}$ est une partie non vide et majorée (par $1$ ) de $\Rr$ . Donc, pour tout réel $\alpha$ de $]0,\pi[$ , $f(\alpha)$ existe dans $\Rr$ .

Si $\alpha$ est dans $[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$ ,

$f(\alpha)=\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|)\geq\sin\alpha\geq\frac{\sqrt{3}}{2}=f(\frac{\pi}{3}).$

Si $\alpha$ est dans $]0,\frac{\pi}{3}]$ . Soit $n_0$ l’entier naturel tel que $(n_0-1)\alpha<\frac{\pi}{3}\leq n_0\alpha$ ( $n_0$ existe car la suite $(n\alpha)_{n\in\Nn}$ est strictement croissante). Alors,

$\frac{\pi}{3}\leq n_0\alpha=(n_0-1)\alpha+\alpha<\frac{\pi}{3}+\alpha\leq\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.$

Mais alors,

$f(\alpha)=\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|)\geq|\sin(n_0\alpha)|\geq\frac{\sqrt{3}}{2}=f(\frac{\pi}{3}).$

Si $\alpha$ est dans $[\frac{2\pi}{3},\pi[$ , on note que $f(\alpha)=\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|)=\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n(\pi-\alpha)|)=f(\pi-\alpha)\geq f(\frac{\pi}{3}),$

car $\pi-\alpha$ est dans $]0,\frac{\pi}{3}]$ .

On a montré que $\forall\alpha\in]0,\pi[,\;f(\alpha)\geq f(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Donc, $\mbox{inf}_{\alpha\in]0,\pi[}(\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|))$ existe dans $\Rr$ et

$\mbox{inf}_{\alpha\in]0,\pi[}(\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|))= \mbox{Min}_{\alpha\in]0,\pi[}(\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|))=f(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

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