Si $P$ est constant égal à $c$ , il convient si et seulement si $c=c^2$ , et alors $c\in\{0;1\}$ .

Dans la suite on suppose $P$ non constant. Notons $Z$ l’ensemble des racines de $P$ . On sait que $Z$ est un ensemble non vide, fini.

Analyse

Si $z\in Z$ , alors $P(z)=0$ et la relation $P(X^2)=P(X)P(X+1)$ implique $P(z^2)=0$ , donc $z^2\in Z$ . En itérant, on obtient $z^{2k}\in Z$ (pour tout $k\in\N^*$ ). Si $|z|>1$ , la suite $(|z^{2k}|)_k$ est strictement croissante donc $Z$ contient une infinité d’éléments, ce qui est impossible. De même si $0<|z|<1$ , la suite $(|z^{2k}|)_k$ est strictement décroissante, ce qui est impossible pour la même raison. Donc les éléments de $Z$ sont soit $0$ , soit des nombres complexes de module $1$ .

De plus, si $P(z)=0$ , alors toujours par la relation $P(X^2)=P(X)P(X+1)$ , on a que $P((z-1)^2)=0$ donc $(z-1)^2\in Z$ . Par le même raisonnement que précédemment, alors ou bien $z-1=0$ ou bien $|z-1|=1$ .

En écrivant $z=a+ib$ , on vérifie que $|z|=|z-1|=1$ équivaut à $z=e^{\pm i\pi/3}$ . Finalement, $Z\subset\big\{0,1,e^{i\pi/3},e^{-i\pi/3}\big\}$ . Or si $e^{\pm i\pi/3}$ était racine de $P$ , alors $(e^{\pm i\pi/3})^2$ devrait aussi être dans $Z$ , mais ce n’est aucun des quatre nombres complexes listés ci-dessus. Donc ni $e^{i\pi/3}$ , ni $e^{-i\pi/3}$ ne sont dans $Z$ . Les deux seules racines (complexes) possibles sont donc $0$ et $1$ . Conclusion : le polynôme $P$ est nécessairement de la forme $\lambda X^k(X-1)^\ell$ .

Synthèse

La condition $P(X^2)=P(X)P(X+1)$ devient $\lambda X^{2k}(X^2-1)^\ell=\lambda^2X^k(X-1)^\ell(X+1)^kX^\ell$ qui équivaut à $\left\{\begin{array}{l}\lambda^2=\lambda\\2k=k+\ell\\k=\ell\end{array}\right.$ .

Autrement dit $k=\ell$ et $\lambda=1$ (puisqu’on a supposé $P$ non constant).

Conclusion Finalement, les solutions sont le polynôme nul et les polynômes $(X^2-X)^k$ , $k\in\Nn$ ( $k=0$ donne le polynôme $1$ ).

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