Si \(P\) est constant égal à \(c\), il convient si et seulement si \(c=c^2\), et alors \(c\in\{0;1\}\).

Dans la suite on suppose \(P\) non constant. Notons \(Z\) l’ensemble des racines de \(P\). On sait que \(Z\) est un ensemble non vide, fini.

Analyse

Si \(z\in Z\), alors \(P(z)=0\) et la relation \(P(X^2)=P(X)P(X+1)\) implique \(P(z^2)=0\), donc \(z^2\in Z\). En itérant, on obtient \(z^{2k}\in Z\) (pour tout \(k\in\N^*\)). Si \(|z|>1\), la suite \((|z^{2k}|)_k\) est strictement croissante donc \(Z\) contient une infinité d’éléments, ce qui est impossible. De même si \(0<|z|<1\), la suite \((|z^{2k}|)_k\) est strictement décroissante, ce qui est impossible pour la même raison. Donc les éléments de \(Z\) sont soit \(0\), soit des nombres complexes de module \(1\).

De plus, si \(P(z)=0\), alors toujours par la relation \(P(X^2)=P(X)P(X+1)\), on a que \(P((z-1)^2)=0\) donc \((z-1)^2\in Z\). Par le même raisonnement que précédemment, alors ou bien \(z-1=0\) ou bien \(|z-1|=1\).

En écrivant \(z=a+ib\), on vérifie que \(|z|=|z-1|=1\) équivaut à \(z=e^{\pm i\pi/3}\). Finalement, \(Z\subset\big\{0,1,e^{i\pi/3},e^{-i\pi/3}\big\}\). Or si \(e^{\pm i\pi/3}\) était racine de \(P\), alors \((e^{\pm i\pi/3})^2\) devrait aussi être dans \(Z\), mais ce n’est aucun des quatre nombres complexes listés ci-dessus. Donc ni \(e^{i\pi/3}\), ni \(e^{-i\pi/3}\) ne sont dans \(Z\). Les deux seules racines (complexes) possibles sont donc \(0\) et \(1\). Conclusion : le polynôme \(P\) est nécessairement de la forme \(\lambda X^k(X-1)^\ell\).

Synthèse

La condition \(P(X^2)=P(X)P(X+1)\) devient \[\lambda X^{2k}(X^2-1)^\ell=\lambda^2X^k(X-1)^\ell(X+1)^kX^\ell\] qui équivaut à \(\left\{\begin{array}{l}\lambda^2=\lambda\\2k=k+\ell\\k=\ell\end{array}\right.\).

Autrement dit \(k=\ell\) et \(\lambda=1\) (puisqu’on a supposé \(P\) non constant).

Conclusion Finalement, les solutions sont le polynôme nul et les polynômes \((X^2-X)^k\), \(k\in\Nn\) (\(k=0\) donne le polynôme \(1\)).

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