Soit \(\mathcal{B}=(e_i)_{1\leq i\leq n}\) la base canonique de \(\Cc^n\) et \((e_i')_{1\leq i\leq n}\) la famille d’éléments de \(\Cc^n\) de matrice \(A\) dans la base \(\mathcal{B}\).

Par définition, on a

\[\forall i\in\{1,...,n-1\},\;e_i'=ie_i+\sum_{j=i+1}^{n}e_j\;\mbox{et}\;e_n'=ne_n.\]

En retranchant membre à membre ces égalités, on obtient

\[\forall i\in\{1,...,n-1\},\;e_i'-e_{i+1}'=i(e_i-e_{i+1})\;\mbox{et}\;e_n'=ne_n,\]

ou encore

\[\forall i\in\{1,...,n-1\},\;e_i-e_{i+1}=\frac{1}{i}(e_i'-e_{i+1}')\;\mbox{et}\;e_n=\frac{1}{n}e_n'.\]

Mais alors, pour \(i\in\{1,...,n-1\}\), on a

\[\begin{align*}\ensuremath e_i&=\sum_{j=i}^{n-1}(e_j-e_{j+1})+e_n=\sum_{j=i}^{n-1}\frac{1}{j}(e_j'-e_{j+1}')+\frac{1}{n}e_n' =\sum_{j=i}^{n-1}\frac{1}{j}e_j'-\sum_{j=i+1}^{n}\frac{1}{j-1}e_j'+\frac{1}{n}e_n'\\ &=\frac{1}{i}e_i'+\sum_{j=i+1}^{n}\frac{1}{j}e_j'-\sum_{j=i+1}^{n}\frac{1}{j-1}e_j'\\ &=\frac{1}{i}e_i'-\sum_{j=i+1}^{n}\frac{1}{j(j-1)}e_j' \end{align*}\]

Mais alors, \(\Cc^n=\mbox{Vect}(e_1,...,e_n)\subset\mbox{Vect}(e_1',...,e_n')\), ce qui montre que la famille \(\mathcal{B}'=(e_1',...,e_n')\) est génératrice de \(\Cc^n\) et donc une base de \(\Cc^n\). Par suite, \(A\) est inversible et

\[A^{-1}=\mbox{Mat}_{\mathcal{B}'}\mathcal{B}=(a_{i,j}')_{1\leq i,j\leq n}\;\mbox{où}\; a_{i,j}'= \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{i}\;\mbox{si}\;i=j\\ -\frac{1}{i(i-1)}\;\mbox{si}\;i>j\\ 0\;\mbox{si}\;i<j \end{array} \right..\]

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