On considère la série entière réelle \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{(n+1)x^n}{2^n}\).
1
Calculer le rayon de convergence \(R\) de cette série entière.
2
Étudier la série évaluée en \(x=R\) et \(x=-R\). En déduire le domaine de convergence de cette série entière.
3
Soit la série \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \left( \frac{x}{2} \right)^n\) et \(R'\) son rayon de convergence. Calculer \(R'\) puis calculer la somme de cette série pour tout \(x\in ]-R',R'[\).
4
En déduire la somme de la série \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{(n+1)x^n}{2^n}\).