L2 Analyse Série entière Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 4 questions

Etude de séries entières

On considère la série entière réelle ∑n≥0(n+1)xn2n\displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{(n+1)x^n}{2^n}.

1

Calculer le rayon de convergence RR de cette série entière.

2

Étudier la série évaluée en x=Rx=R et x=−Rx=-R. En déduire le domaine de convergence de cette série entière.

3

Soit la série ∑n≥0(x2)n\displaystyle \sum_{n \geq 0} \left( \frac{x}{2} \right)^n et R′R' son rayon de convergence. Calculer R′R' puis calculer la somme de cette série pour tout x∈]−R′,R′[x\in ]-R',R'[.

4

En déduire la somme de la série ∑n≥0(n+1)xn2n\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{(n+1)x^n}{2^n}.

Exercice SfKE

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