Le but de cet exercice est de résoudre l’équation différentielle \[x(x-1)y''+3xy'+y=0\] avec les conditions initiales \(y(0)=0\) et \(y'(0)=1\) par la méthode des séries entières.
On supposera qu’une solution \(y\) peut s’exprimer sous la forme: \[y(x)=\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}}a_n\,x^{n},\] pour tout \(|x|<R\) où \(R\) est un réel fixé strictement positif et \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite de nombres réels.
Donner l’expression des dérivées successives de \(y\): \(y'\) et \(y''\) sous la forme de série entière.
Déterminer \(a_0\) et \(a_1\) en utilisant les conditions initiales.
Montrer que \(a_2=2\) et que pour tout \(n\geq 2,\) \[a_{n+1}=\frac{n+1}{n}a_n.\]
En déduire une expression explicite de \((a_n)_{n\geq 2}\) puis l’expression générale de la solution \(y\). On précisera l’intervalle de convergence de la série obtenue.
Déterminer la fonction somme de cette série entière.