OpenYourMath

Le but de cet exercice est de résoudre l’équation différentielle $x(x-1)y''+3xy'+y=0$ avec les conditions initiales $y(0)=0$ et $y'(0)=1$ par la méthode des séries entières.
On supposera qu’une solution $y$ peut s’exprimer sous la forme: $y(x)=\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}}a_n\,x^{n},$ pour tout $|x|<R$ où $R$ est un réel fixé strictement positif et $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de nombres réels.

Donner l’expression des dérivées successives de $y$ : $y'$ et $y''$ sous la forme de série entière.

Déterminer $a_0$ et $a_1$ en utilisant les conditions initiales.

Montrer que $a_2=2$ et que pour tout $n\geq 2,$ $a_{n+1}=\frac{n+1}{n}a_n.$

En déduire une expression explicite de $(a_n)_{n\geq 2}$ puis l’expression générale de la solution $y$ . On précisera l’intervalle de convergence de la série obtenue.

Déterminer la fonction somme de cette série entière.

DSE et Equations différentielles

Signaler une erreur