exo7 4616

Soit $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence infini. Montrer l’équivalence entre les propriétés :

: Pour tout $a > 0$, la fonction $z \mapsto f(z)e^{-a|z|}$ est bornée sur $\C$.

: $\sqrt[n]{n!\,|a_n|} \to 0$ lorsque $n\to\infty$.

On utilisera les formules de Cauchy (cf. exercice [Cauchy]).