Pour $n$ entier naturel non nul donné, on a $\begin{align*} u_{n+1}-u_n &= \frac{1}{\sqrt{n+1}}-2\sqrt{n+2}+2\sqrt{n+1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}} \\ &> \frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}} \\ &= 0. \end{align*}$ De même,

$\begin{align*} v_{n+1}-v_n &= \frac{1}{\sqrt{n+1}}-2\sqrt{n+1}+2\sqrt{n} \\ &= \frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ &< \frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}} \\ &= 0. \end{align*}$ La suite $u$ est strictement croissante et la suite $v$ est strictement décroissante. Enfin,

$v_n-u_n=2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}},$ et la suite $v-u$ converge vers $0$ . Les suites $u$ et $v$ sont ainsi adjacentes et donc convergentes, de même limite.

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