Il est immédiat par récurrence que \(\forall n\in\Nn,\;u_n>0\). Donc, \(\forall n\in\Nn^,\;\frac{u_{n+1}}{u_n}=e^{-u_n}<1\) et donc, puisque la suite \(u\) est stritement positive, \(u_{n+1}<u_n\). La suite \(u\) est strictement décroissante, minorée par \(0\) et donc converge vers un réel \(\ell\) vérifiant \(\ell=\ell e^{-\ell}\) ou encore \(\ell(1-e^{-\ell})=0\) ou encore \(\ell=0\).

Soit \(\alpha\) un réel quelconque. Puisque la suite \(u\) tend vers \(0\),

\[u_{n+1}^{\alpha}-u_n^{\alpha}=u_n^{\alpha}(e^{-\alpha u_n}-1)=u_n^{\alpha}(-\alpha u_n+o(u_n))=-\alpha u_n^{\alpha+1}+o(u_n^{\alpha+1}).\] Pour \(\alpha=-1\), on obtient en particulier \(\frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n}=1+o(1)\). Puis, comme au numéro précédent, \(\frac{1}{u_n}=n+\frac{1}{u_0}+o(n)\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n\) et donc

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