Il est immédiat par récurrence que $\forall n\in\Nn,\;u_n>0$ . Donc, $\forall n\in\Nn^,\;\frac{u_{n+1}}{u_n}=e^{-u_n}<1$ et donc, puisque la suite $u$ est stritement positive, $u_{n+1}<u_n$ . La suite $u$ est strictement décroissante, minorée par $0$ et donc converge vers un réel $\ell$ vérifiant $\ell=\ell e^{-\ell}$ ou encore $\ell(1-e^{-\ell})=0$ ou encore $\ell=0$ .

$u$ est strictement positive, strictement décroissante et converge vers $0$ .

Soit $\alpha$ un réel quelconque. Puisque la suite $u$ tend vers $0$ ,

$u_{n+1}^{\alpha}-u_n^{\alpha}=u_n^{\alpha}(e^{-\alpha u_n}-1)=u_n^{\alpha}(-\alpha u_n+o(u_n))=-\alpha u_n^{\alpha+1}+o(u_n^{\alpha+1}).$ Pour $\alpha=-1$ , on obtient en particulier $\frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n}=1+o(1)$ . Puis, comme au numéro précédent, $\frac{1}{u_n}=n+\frac{1}{u_0}+o(n)\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n$ et donc

$u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{n}$ .

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