(Cône sur un ensemble) Soit \(X\) un ensemble et \(Y = X\times [0,1]\). Soit \(\mathcal R\) la relation d’équivalence la plus fine sur \(Y\) telle que \(\forall x,x'\in X, (x,0)\mathcal R (x',0)\).
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Montrer que \((x,t)\mathcal R (x',t') \iff \left(t=t'=0)\text{ ou } (x,t)=(x',t')\right)\).
2
Le cône sur \(X\), noté \(\operatorname{Cone}(X)\), est par définition \(Y/\mathcal R\). Le nom de cône peut s’expliquer à l’aide de l’exemple suivant. Définir une bijection entre \(\operatorname{Cone}(\mathbb S^1)\) et l’ensemble \[\left\{(x,y,z)\in \R^3\:\middle|\: z^2=x^2+y^2, \text{ et } 0\leq z \leq 1\right\}\] (qui est un vrai cône au sens usuel: faire un dessin).