1
Soit \(C\) l’espace des fonctions continues réelles sur \([0,1]\) muni de la métrique \(d_1(f,g)=\int_0^1\vert f-g\vert\ dx\), puis de la métrique \(d_\infty(f,g)=\sup_x\vert f(x)-g(x)\vert\). Vérifier que l’application \(f\to \int_0^1 |f| dx\) de \(C\) dans \(\Rr\) est \(1\)-lipschitzienne dans les deux cas.
2
Soit \(c\) l’espace des suites réelles convergentes, muni de la métrique \(d(x,y)=\sup_n\vert x(n)-y(n)\vert\). Si on désigne par \(\ell(x)\) la limite de la suite \(x\), montrer que \(\ell\) est une application continue de \(c\) dans \(\Rr\). En déduire que \(c_0\) est fermé dans \(c\).