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Soit $C$ l’espace des fonctions continues réelles sur $[0,1]$ muni de la métrique $d_1(f,g)=\int_0^1\vert f-g\vert\ dx$, puis de la métrique $d_\infty(f,g)=\sup_x\vert f(x)-g(x)\vert$. Vérifier que l’application $f\to \int_0^1 |f| dx$ de $C$ dans $\Rr$ est $1$-lipschitzienne dans les deux cas.

Soit $c$ l’espace des suites réelles convergentes, muni de la métrique $d(x,y)=\sup_n\vert x(n)-y(n)\vert$. Si on désigne par $\ell(x)$ la limite de la suite $x$, montrer que $\ell$ est une application continue de $c$ dans $\Rr$. En déduire que $c_0$ est fermé dans $c$.