Si \(f\) est strictement monotone sur \(I\), on sait que \(f\) est injective.

Réciproquement, supposons \(f\) injective et continue sur \(I\) et montrons que \(f\) est strictement monotone.

Supposons par l’absurde que \(f\) n’est pas strictement monotone. On peut alors trouver trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) dans l’intervalle \(I\) tels que

\[a<b<c\;\mbox{et}\;((f(b)\geq f(a)\;\mbox{et}\;f(b)\geq f(c))\;\mbox{ou}\;(f(b)\leq f(a)\;\mbox{et}\;f(b)\leq f(c))).\]

Quitte à remplacer \(f\) par \(-f\), on supposera que \(a<b<c\) et \(f(b)\geq f(a)\) et \(f(b)\geq f(c)\).

Puisque \(f\) est injective, on a même \(a<b<c\) et \(f(b)>f(a)\) et \(f(b)>f(c)\). Soit \(M=\mbox{Max}\{f(a),f(c)\}\). On a \(M<f(b)\). \(M\) est élément de \([f(a),f(b)]\) et, puisque \(f\) est continue sur \([a,b]\), le théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer qu’il existe \(\alpha\in[a,b]\) tel que \(f(\alpha)=M\). De plus, on ne peut avoir \(\alpha=b\) car \(f(\alpha)=M\neq f(b)\) (et \(f\) injective). Donc,

\[\exists\alpha\in[a,b[/\;f(\alpha)=M.\]

De même, puisque \(M\) est élément de \([f(c),f(b)]\), \(\exists\beta\in]b,c]/\;f(\beta)=M\). Ainsi, on a trouvé dans \(I\) deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) vérifiant \(\alpha\neq\beta\) et \(f(\alpha)=f(\beta)\) ce qui contredit l’injectivité de \(f\).

Donc, \(f\) est strictement monotone sur \(I\).

exo7 5402