Si $f$ est strictement monotone sur $I$ , on sait que $f$ est injective.

Réciproquement, supposons $f$ injective et continue sur $I$ et montrons que $f$ est strictement monotone.

Supposons par l’absurde que $f$ n’est pas strictement monotone. On peut alors trouver trois réels $a$ , $b$ et $c$ dans l’intervalle $I$ tels que

$a<b<c\;\mbox{et}\;((f(b)\geq f(a)\;\mbox{et}\;f(b)\geq f(c))\;\mbox{ou}\;(f(b)\leq f(a)\;\mbox{et}\;f(b)\leq f(c))).$

Quitte à remplacer $f$ par $-f$ , on supposera que $a<b<c$ et $f(b)\geq f(a)$ et $f(b)\geq f(c)$ .

Puisque $f$ est injective, on a même $a<b<c$ et $f(b)>f(a)$ et $f(b)>f(c)$ . Soit $M=\mbox{Max}\{f(a),f(c)\}$ . On a $M<f(b)$ . $M$ est élément de $[f(a),f(b)]$ et, puisque $f$ est continue sur $[a,b]$ , le théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer qu’il existe $\alpha\in[a,b]$ tel que $f(\alpha)=M$ . De plus, on ne peut avoir $\alpha=b$ car $f(\alpha)=M\neq f(b)$ (et $f$ injective). Donc,

$\exists\alpha\in[a,b[/\;f(\alpha)=M.$

De même, puisque $M$ est élément de $[f(c),f(b)]$ , $\exists\beta\in]b,c]/\;f(\beta)=M$ . Ainsi, on a trouvé dans $I$ deux réels $\alpha$ et $\beta$ vérifiant $\alpha\neq\beta$ et $f(\alpha)=f(\beta)$ ce qui contredit l’injectivité de $f$ .

Donc, $f$ est strictement monotone sur $I$ .

exo7 5402