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Montrer que $X$ est connexe si et seulement si toute application continue $f:X\to \{0,1\}$ est constante.

Soit $A$ une partie de $X$ connexe. Montrer que toute partie $B \subset E$ vérifiant $A \subset B\subset \overline{A}$ est connexe.

Si $(A_n)_{n\geq 0}$ est une suite de parties connexes de $X$ telle que $A_n \cap A_{n+1}\neq \emptyset$ pour tout $n\geq 0$. Prouver que $\bigcup _{n\geq 0} A_n$ est connexe.