[exocon] Soit \(X\) un espace métrique.
1
Montrer que \(X\) est connexe si et seulement si toute application continue \(f:X\to \{0,1\}\) est constante.
2
Soit \(A\) une partie de \(X\) connexe. Montrer que toute partie \(B \subset E\) vérifiant \(A \subset B\subset \overline{A}\) est connexe.
3
Si \((A_n)_{n\geq 0}\) est une suite de parties connexes de \(X\) telle que \(A_n \cap A_{n+1}\neq \emptyset\) pour tout \(n\geq 0\). Prouver que \(\bigcup _{n\geq 0} A_n\) est connexe.