L3 Topologie Connexité Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 2 questions

exo7 6153

Soit I=[a,b]I=[a,b] et f:I→Rf : I\to\R dérivable ; soit A={(x,y)∈I×I;y>x}A=\big\{(x,y)\in I\times I; y>x\big\} et g:A→Rg : A\to \R définie par g(x,y)=f(y)−f(x)y−xg(x,y)={f(y)-f(x)\over y-x}.

1

Montrer que g(A)⊂f′(I)⊂g(A)‾g(A)\subset f'(I)\subset\overline {g(A)}.

2

Montrer que f′f' a la propriété de la valeur intermédiaire : si elle prend les valeurs α\alpha et β\beta, elle prend toute valeur γ∈[α,β]\gamma \in[\alpha ,\beta ].

Exercice SbqG

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