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On suppose que $P'(z)=0$ et $z\notin \{z_1,\ldots ,z_n\}$ ; montrer qu’il existe des réels $\lambda _1(z),\ldots ,\lambda _n(z)$, inconnus mais $>0$, tels que l’on ait : $\sum^n_{k=1} \lambda _k(z)(z-z_k)=0$. (Indication : considérer ${P'(z)\over P(z)}$ et son conjugué).

Montrer que $P'$ a aussi toutes ses racines dans $K$ (théorème de Gauss-Lucas).