Soit \(P\in{\Cc}[X]\) un polynôme de racines \(z_1,\ldots ,z_n\) distinctes ou non, situées dans un convexe \(K\) de \({\Cc}\).
1
On suppose que \(P'(z)=0\) et \(z\notin \{z_1,\ldots ,z_n\}\) ; montrer qu’il existe des réels \(\lambda _1(z),\ldots ,\lambda _n(z)\), inconnus mais \(>0\), tels que l’on ait : \(\sum^n_{k=1} \lambda _k(z)(z-z_k)=0\). (Indication : considérer \({P'(z)\over P(z)}\) et son conjugué).
2
Montrer que \(P'\) a aussi toutes ses racines dans \(K\) (théorème de Gauss-Lucas).