On considère le sous-ensemble suivant du plan complexe :
\[C=\cup_{n\geq1} [0,1+{i\over n}]\cup\ [{1\over2},1]= A\cup\ [{1\over2},1]\]
1
Montrer que \(C\) est connexe.
Soit \(\gamma\) un chemin reliant un point de \(A\) à un point de \([{1\over2},1]\) et d’image dans \(C\).
2
Si \(\gamma\) ne passe pas par \(0\), montrer que \(\gamma(t)=r(t)e^{i\theta(t)}\) où \(r(t)>0\) et \(0\leq\theta(t)<{\pi\over2}\), et \(r,\theta\) continues.
3
Montrer que \(\theta\) ne prend qu’un nombre dénombrable de valeurs et aboutir à une contradiction.
4
Dans tous les cas, montrer qu’il existe \(t_0\in]0,1[\) tel que \(\gamma(t)\) ne passe pas par \(0\) pour \(t\geq t_0\). En déduire que \(C\) n’est pas connexe par arcs.