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Montrer que $C$ est connexe.

Soit $\gamma$ un chemin reliant un point de $A$ à un point de $[{1\over2},1]$ et d’image dans $C$.

Si $\gamma$ ne passe pas par $0$, montrer que $\gamma(t)=r(t)e^{i\theta(t)}$ où $r(t)>0$ et $0\leq\theta(t)<{\pi\over2}$, et $r,\theta$ continues.

Montrer que $\theta$ ne prend qu’un nombre dénombrable de valeurs et aboutir à une contradiction.

Dans tous les cas, montrer qu’il existe $t_0\in]0,1[$ tel que $\gamma(t)$ ne passe pas par $0$ pour $t\geq t_0$. En déduire que $C$ n’est pas connexe par arcs.